Номер 63, страница 38 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 63, страница 38.

Условие.

63. Докажите, что функция $f$ является периодической:

а) $f(x) = 2 - \cos x$;

б) $f(x) = \text{tg } 2x$;

в) $f(x) = \sin x + \cos x$;

г) $f(x) = 3 + \sin^2 x$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что функция $f(x) = 2 - \cos x$ является периодической, необходимо найти такое число $T \neq 0$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Область определения данной функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Функция $g(x) = \cos x$ является периодической с основным периодом $T = 2\pi$. Это означает, что $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ для любого $x$. Проверим, является ли $T = 2\pi$ периодом для функции $f(x)$.

$f(x + 2\pi) = 2 - \cos(x + 2\pi)$.

Используя периодичность косинуса, получаем:

$f(x + 2\pi) = 2 - \cos x = f(x)$.

Так как равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$ выполняется для любого $x$, функция $f(x)$ является периодической.

Ответ: Функция является периодической с периодом $T=2\pi$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \text{tg } 2x$.

Область определения функции задается условием $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, то есть $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Известно, что функция $g(u) = \text{tg } u$ является периодической с основным периодом $T_g = \pi$. Период функции вида $y = h(kx)$ находится по формуле $T = \frac{T_h}{|k|}$, где $T_h$ — период функции $h$. Для функции $f(x) = \text{tg } 2x$ имеем $k=2$, следовательно, ее период равен $T = \frac{\pi}{2}$.

Проверим по определению:

$f(x + \frac{\pi}{2}) = \text{tg}(2(x + \frac{\pi}{2})) = \text{tg}(2x + \pi)$.

Так как тангенс имеет период $\pi$, то $\text{tg}(2x + \pi) = \text{tg}(2x) = f(x)$.

Равенство выполняется для всех $x$ из области определения, значит, функция является периодической.

Ответ: Функция является периодической с периодом $T = \frac{\pi}{2}$.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x + \cos x$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Функция является суммой двух периодических функций: $g(x) = \sin x$ с периодом $T_1 = 2\pi$ и $h(x) = \cos x$ с периодом $T_2 = 2\pi$. Период суммы функций с одинаковым периодом равен этому же периоду. Таким образом, предполагаемый период функции $f(x)$ равен $T = 2\pi$.

Проверим это по определению:

$f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) + \cos(x + 2\pi)$.

Используя свойства периодичности синуса и косинуса, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ и $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, получаем:

$f(x + 2\pi) = \sin x + \cos x = f(x)$.

Равенство выполняется для всех $x$, следовательно, функция является периодической.

Ответ: Функция является периодической с периодом $T = 2\pi$.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = 3 + \sin^2 x$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Для доказательства периодичности можно проверить выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$ напрямую, либо преобразовать функцию. Используем формулу понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$f(x) = 3 + \frac{1 - \cos(2x)}{2} = 3 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x) = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$.

Функция $g(x) = \cos(2x)$ имеет период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Умножение на константу и сложение с константой не меняют период, поэтому период функции $f(x)$ также равен $\pi$.

Проверим это, используя исходную формулу и $T = \pi$:

$f(x + \pi) = 3 + \sin^2(x + \pi)$.

По формуле приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$. Тогда:

$f(x + \pi) = 3 + (-\sin x)^2 = 3 + \sin^2 x = f(x)$.

Равенство выполняется для всех $x$, следовательно, функция является периодической.

Ответ: Функция является периодической с периодом $T = \pi$.