Номер 63, страница 38 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 63, страница 38.
№63 (с. 38)
Условие. №63 (с. 38)
скриншот условия

63. Докажите, что функция $f$ является периодической:
а) $f(x) = 2 - \cos x$;
б) $f(x) = \text{tg } 2x$;
в) $f(x) = \sin x + \cos x$;
г) $f(x) = 3 + \sin^2 x$.
Решение 1. №63 (с. 38)

Решение 3. №63 (с. 38)

Решение 5. №63 (с. 38)
а) Чтобы доказать, что функция $f(x) = 2 - \cos x$ является периодической, необходимо найти такое число $T \neq 0$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения данной функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Функция $g(x) = \cos x$ является периодической с основным периодом $T = 2\pi$. Это означает, что $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ для любого $x$. Проверим, является ли $T = 2\pi$ периодом для функции $f(x)$.
$f(x + 2\pi) = 2 - \cos(x + 2\pi)$.
Используя периодичность косинуса, получаем:
$f(x + 2\pi) = 2 - \cos x = f(x)$.
Так как равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$ выполняется для любого $x$, функция $f(x)$ является периодической.
Ответ: Функция является периодической с периодом $T=2\pi$.
б) Рассмотрим функцию $f(x) = \text{tg } 2x$.
Область определения функции задается условием $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, то есть $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.
Известно, что функция $g(u) = \text{tg } u$ является периодической с основным периодом $T_g = \pi$. Период функции вида $y = h(kx)$ находится по формуле $T = \frac{T_h}{|k|}$, где $T_h$ — период функции $h$. Для функции $f(x) = \text{tg } 2x$ имеем $k=2$, следовательно, ее период равен $T = \frac{\pi}{2}$.
Проверим по определению:
$f(x + \frac{\pi}{2}) = \text{tg}(2(x + \frac{\pi}{2})) = \text{tg}(2x + \pi)$.
Так как тангенс имеет период $\pi$, то $\text{tg}(2x + \pi) = \text{tg}(2x) = f(x)$.
Равенство выполняется для всех $x$ из области определения, значит, функция является периодической.
Ответ: Функция является периодической с периодом $T = \frac{\pi}{2}$.
в) Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x + \cos x$.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Функция является суммой двух периодических функций: $g(x) = \sin x$ с периодом $T_1 = 2\pi$ и $h(x) = \cos x$ с периодом $T_2 = 2\pi$. Период суммы функций с одинаковым периодом равен этому же периоду. Таким образом, предполагаемый период функции $f(x)$ равен $T = 2\pi$.
Проверим это по определению:
$f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) + \cos(x + 2\pi)$.
Используя свойства периодичности синуса и косинуса, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ и $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, получаем:
$f(x + 2\pi) = \sin x + \cos x = f(x)$.
Равенство выполняется для всех $x$, следовательно, функция является периодической.
Ответ: Функция является периодической с периодом $T = 2\pi$.
г) Рассмотрим функцию $f(x) = 3 + \sin^2 x$.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Для доказательства периодичности можно проверить выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$ напрямую, либо преобразовать функцию. Используем формулу понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
$f(x) = 3 + \frac{1 - \cos(2x)}{2} = 3 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x) = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$.
Функция $g(x) = \cos(2x)$ имеет период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Умножение на константу и сложение с константой не меняют период, поэтому период функции $f(x)$ также равен $\pi$.
Проверим это, используя исходную формулу и $T = \pi$:
$f(x + \pi) = 3 + \sin^2(x + \pi)$.
По формуле приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$. Тогда:
$f(x + \pi) = 3 + (-\sin x)^2 = 3 + \sin^2 x = f(x)$.
Равенство выполняется для всех $x$, следовательно, функция является периодической.
Ответ: Функция является периодической с периодом $T = \pi$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 63 расположенного на странице 38 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №63 (с. 38), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.