Номер 56, страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 56, страница 31.

Условие.

56. a) $y = \sin 3x - 1$;

б) $y = \frac{1}{2} x^3 + 2$;

в) $y = 1 + \cos 2x$;

г) $y = 1 + \frac{1}{2} \sqrt{x}$.

Решение 1.

Решение 5.

а) Дана функция $y = \sin 3x - 1$. Для нахождения её производной $y'$, воспользуемся правилами дифференцирования.
1. Производная разности функций равна разности их производных: $y' = (\sin 3x - 1)' = (\sin 3x)' - (1)'$.
2. Производная константы равна нулю: $(1)' = 0$.
3. Для нахождения производной $(\sin 3x)'$ применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Внешняя функция — это синус, а внутренняя — $3x$. Производная синуса — косинус, а производная $3x$ равна $3$. $(\sin 3x)' = \cos(3x) \cdot (3x)' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos 3x$.
4. Собираем все части вместе: $y' = 3\cos 3x - 0 = 3\cos 3x$.
Ответ: $y' = 3\cos 3x$.

б) Дана функция $y = \frac{1}{2}x^3 + 2$. Найдём её производную $y'$.
1. Производная суммы функций равна сумме их производных: $y' = (\frac{1}{2}x^3 + 2)' = (\frac{1}{2}x^3)' + (2)'$.
2. Производная константы равна нулю: $(2)' = 0$.
3. Для нахождения производной $(\frac{1}{2}x^3)'$ используем правило вынесения константы за знак производной и формулу для производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. $(\frac{1}{2}x^3)' = \frac{1}{2} \cdot (x^3)' = \frac{1}{2} \cdot 3x^{3-1} = \frac{3}{2}x^2$.
4. Собираем все части вместе: $y' = \frac{3}{2}x^2 + 0 = \frac{3}{2}x^2$.
Ответ: $y' = \frac{3}{2}x^2$.

в) Дана функция $y = 1 + \cos 2x$. Найдём её производную $y'$.
1. Производная суммы функций равна сумме их производных: $y' = (1 + \cos 2x)' = (1)' + (\cos 2x)'$.
2. Производная константы равна нулю: $(1)' = 0$.
3. Для нахождения производной $(\cos 2x)'$ применим правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция — косинус, внутренняя — $2x$. Производная косинуса — минус синус, а производная $2x$ равна $2$. $(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin 2x$.
4. Собираем все части вместе: $y' = 0 + (-2\sin 2x) = -2\sin 2x$.
Ответ: $y' = -2\sin 2x$.

г) Дана функция $y = 1 + \frac{1}{2}\sqrt{x}$. Найдём её производную $y'$.
1. Для удобства дифференцирования представим квадратный корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. Тогда функция примет вид $y = 1 + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}$.
2. Производная суммы функций равна сумме их производных: $y' = (1 + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}})' = (1)' + (\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}})'$.
3. Производная константы равна нулю: $(1)' = 0$.
4. Для нахождения производной $(\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}})'$ используем правило вынесения константы и формулу для производной степенной функции: $(\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2}}$.
5. Преобразуем результат обратно к виду с корнем: $x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Значит, $(\frac{1}{2}\sqrt{x})' = \frac{1}{4\sqrt{x}}$.
6. Собираем все части вместе: $y' = 0 + \frac{1}{4\sqrt{x}} = \frac{1}{4\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{4\sqrt{x}}$.