Номер 52, страница 30 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 52, страница 30.

Условие.

52.—

а) Основание $AC$ треугольника $ABC$ равно $b$, высота $BD$ равна $h$. Через точку $K$ высоты $BD$ проведена прямая, параллельная $AC$. Выразите площади фигур, на которые делит эта прямая данный треугольник, как функции от расстояния $BK = x$.

б) Радиационная мера центрального угла равна $x$, радиус круга равен $R$. Выразите площадь соответствующего сегмента как функцию от $x$.

в) Радианная мера центрального угла сектора равна $\alpha$, радиус равен $r$. Выразите периметр сектора как функцию от угла $\alpha$.

г) Прямая, параллельная диагонали квадрата, делит его на две фигуры. Задайте формулой зависимость между площадью каждой фигуры и длиной $x$ меньшего отрезка, отсекаемого данной прямой от диагонали, если сторона квадрата равна $a$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Пусть дан треугольник $ABC$ с основанием $AC = b$ и высотой $BD = h$. Прямая $MN$, параллельная основанию $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, а высоту $BD$ — в точке $K$. По условию, $BK = x$.

Треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$, так как прямая $MN$ параллельна $AC$. Высота треугольника $MBN$, проведенная из вершины $B$, равна $BK = x$. Высота треугольника $ABC$, проведенная из той же вершины, равна $BD = h$.

Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению их высот: $k = \frac{BK}{BD} = \frac{x}{h}$.

Площадь исходного треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2}bh$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, площадь меньшего треугольника $MBN$, который является одной из двух фигур, равна:

$S_1 = S_{MBN} = S_{ABC} \cdot k^2 = \frac{1}{2}bh \cdot (\frac{x}{h})^2 = \frac{bhx^2}{2h^2} = \frac{bx^2}{2h}$.

Вторая фигура — это трапеция $AMNC$. Ее площадь можно найти как разность площадей треугольников $ABC$ и $MBN$:

$S_2 = S_{AMNC} = S_{ABC} - S_{MBN} = \frac{1}{2}bh - \frac{bx^2}{2h} = \frac{b}{2}(h - \frac{x^2}{h}) = \frac{b(h^2 - x^2)}{2h}$.

Ответ: Площадь треугольника $S_1(x) = \frac{bx^2}{2h}$, площадь трапеции $S_2(x) = \frac{b(h^2 - x^2)}{2h}$.

б) Площадь сегмента круга находится как разность площади соответствующего сектора и площади треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, стягивающей дугу.

Дано: радиус круга $R$, радианная мера центрального угла $x$.

Площадь сектора с центральным углом $x$ (в радианах) вычисляется по формуле: $S_{сектора} = \frac{1}{2}R^2x$.

Площадь треугольника, образованного двумя радиусами $R$ и углом $x$ между ними, вычисляется по формуле: $S_{треугольника} = \frac{1}{2}R \cdot R \cdot \sin(x) = \frac{1}{2}R^2\sin(x)$.

Следовательно, площадь сегмента $S$ как функция от $x$ равна:

$S(x) = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{1}{2}R^2x - \frac{1}{2}R^2\sin(x) = \frac{1}{2}R^2(x - \sin(x))$.

Ответ: $S(x) = \frac{1}{2}R^2(x - \sin(x))$.

в) Периметр сектора складывается из длин двух радиусов и длины дуги, ограничивающей сектор.

Дано: радиус круга $r$, радианная мера центрального угла $\alpha$.

Суммарная длина двух радиусов равна $r + r = 2r$.

Длина дуги $L$ с центральным углом $\alpha$ (в радианах) вычисляется по формуле: $L = r\alpha$.

Следовательно, периметр сектора $P$ как функция от $\alpha$ равен:

$P(\alpha) = 2r + L = 2r + r\alpha = r(2 + \alpha)$.

Ответ: $P(\alpha) = r(2 + \alpha)$.

г) Пусть дан квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Проведем прямую $L$, параллельную диагонали $BD$. Эта прямая пересекает другую диагональ $AC$ в точке $P$. По условию, длина меньшего из отрезков $AP$ и $CP$ равна $x$. По симметрии, неважно, к какой вершине (A или C) прямая $L$ находится ближе, результат будет одинаковым.

Пусть прямая $L$ находится ближе к вершине $A$. Тогда она отсекает от квадрата маленький треугольник $AEF$, где $E$ лежит на $AB$, а $F$ — на $AD$. Этот треугольник является прямоугольным и равнобедренным. Вторая образовавшаяся фигура — пятиугольник $EBCDF$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Прямая $EF$ параллельна его основанию $BD$. Треугольник $AEF$ подобен треугольнику $ABD$. Диагональ $AC$ пересекает $BD$ в центре квадрата $M$. Отрезок $AM$ является высотой треугольника $ABD$, проведенной к основанию $BD$. Его длина равна половине диагонали: $AM = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Отрезок $AP$ является высотой треугольника $AEF$, проведенной к основанию $EF$. Так как прямая $L$ ближе к $A$, то отрезок $AP$ короче $CP$, и по условию его длина равна $x$. Таким образом, $AP = x$. Заметим, что $x$ может принимать значения в диапазоне от $0$ до $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Коэффициент подобия треугольников $AEF$ и $ABD$ равен отношению их высот:

$k = \frac{AP}{AM} = \frac{x}{a\sqrt{2}/2} = \frac{2x}{a\sqrt{2}}$.

Площадь треугольника $ABD$ равна $S_{ABD} = \frac{1}{2}a^2$.

Площадь отсекаемого треугольника $AEF$ ($S_1$) равна площади $S_{ABD}$, умноженной на квадрат коэффициента подобия:

$S_1(x) = S_{ABD} \cdot k^2 = \frac{a^2}{2} \cdot \left(\frac{2x}{a\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{4x^2}{2a^2} = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{2x^2}{a^2} = x^2$.

Площадь второй фигуры, пятиугольника $EBCDF$ ($S_2$), равна разности площади квадрата и площади треугольника $AEF$:

$S_2(x) = S_{квадрата} - S_1(x) = a^2 - x^2$.

Ответ: Площади фигур равны $S_1(x) = x^2$ и $S_2(x) = a^2 - x^2$.