Номер 45, страница 29 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 45, страница 29.

Условие.

45. Найдите область определения и область значений каждой из функций:

а) $y = 2 \cos \left( x - \frac{\pi}{3} \right)$;

б) $y = 2 + \frac{4}{x-3}$;

в) $y = \frac{3}{x+1} - 1$;

г) $y = 3 + 0,5 \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для функции $y = 2 \cos(x - \frac{\pi}{3})$:
Область определения: Функция косинуса определена для любого действительного значения аргумента. Так как $x$ может быть любым действительным числом, выражение $x - \frac{\pi}{3}$ также может быть любым действительным числом. Следовательно, область определения функции ($D(y)$) — это множество всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: Мы знаем, что значения функции $\cos(u)$ лежат в отрезке $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(x - \frac{\pi}{3}) \le 1$.
Умножим все части этого двойного неравенства на 2:
$2 \cdot (-1) \le 2 \cos(x - \frac{\pi}{3}) \le 2 \cdot 1$
$-2 \le y \le 2$
Следовательно, область значений функции ($E(y)$) — это отрезок $[-2, 2]$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [-2; 2]$.

б) Для функции $y = 2 + \frac{4}{x-3}$:
Область определения: Данная функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.
$x - 3 \ne 0 \implies x \ne 3$.
Следовательно, область определения функции ($D(y)$) — это все действительные числа, кроме 3.
$D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Область значений: Выразим $x$ через $y$:
$y - 2 = \frac{4}{x-3}$
$x - 3 = \frac{4}{y-2}$
$x = 3 + \frac{4}{y-2}$
Это выражение имеет смысл для всех $y$, при которых знаменатель $y-2$ не равен нулю, то есть $y \ne 2$. Следовательно, область значений функции ($E(y)$) — это все действительные числа, кроме 2.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

в) Для функции $y = \frac{3}{x+1} - 1$:
Область определения: Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.
$x + 1 \ne 0 \implies x \ne -1$.
Следовательно, область определения функции ($D(y)$) — это все действительные числа, кроме -1.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
Область значений: Выразим $x$ через $y$:
$y + 1 = \frac{3}{x+1}$
$x + 1 = \frac{3}{y+1}$
$x = \frac{3}{y+1} - 1$
Это выражение имеет смысл для всех $y$, при которых знаменатель $y+1$ не равен нулю, то есть $y \ne -1$. Следовательно, область значений функции ($E(y)$) — это все действительные числа, кроме -1.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

г) Для функции $y = 3 + 0,5 \sin(x + \frac{\pi}{4})$:
Область определения: Функция синуса определена для любого действительного значения аргумента. Так как $x$ может быть любым действительным числом, выражение $x + \frac{\pi}{4}$ также может быть любым действительным числом. Следовательно, область определения функции ($D(y)$) — это множество всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: Мы знаем, что значения функции $\sin(u)$ лежат в отрезке $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$.
Умножим все части этого двойного неравенства на 0,5:
$0,5 \cdot (-1) \le 0,5 \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 0,5 \cdot 1$
$-0,5 \le 0,5 \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 0,5$
Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$3 - 0,5 \le 3 + 0,5 \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 3 + 0,5$
$2,5 \le y \le 3,5$
Следовательно, область значений функции ($E(y)$) — это отрезок $[2,5; 3,5]$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [2,5; 3,5]$.