Номер 38, страница 21 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 38, страница 21.

Условие.

38. а) $y = \sin x$;

б) $y = 1 + \cos x$;

в) $y = \cos x$;

г) $y = \sin x - 1$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Функция $y = \sin x$ является основной тригонометрической функцией. Множество значений функции синус хорошо известно. По определению, синус угла $x$ — это ордината точки на единичной окружности, соответствующей этому углу. Так как радиус единичной окружности равен 1, ординаты точек на ней могут принимать любые значения от -1 (в самой нижней точке) до 1 (в самой верхней точке) включительно. Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:
$-1 \le \sin x \le 1$.
Таким образом, множество значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.

б) Чтобы найти множество значений функции $y = 1 + \cos x$, мы начнем с множества значений функции $y = \cos x$. Как известно, значения косинуса лежат в пределах от -1 до 1:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Теперь преобразуем это двойное неравенство, чтобы получить выражение для $y$. Для этого прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-1 + 1 \le \cos x + 1 \le 1 + 1$
$0 \le 1 + \cos x \le 2$
Поскольку $y = 1 + \cos x$, мы получаем:
$0 \le y \le 2$.
Таким образом, множество значений данной функции — это отрезок $[0, 2]$. Графически это соответствует сдвигу графика $y=\cos x$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.

Ответ: $E(y) = [0, 2]$.

в) Функция $y = \cos x$ — это еще одна основная тригонометрическая функция. Ее множество значений определяется аналогично функции синуса. Косинус угла $x$ — это абсцисса точки на единичной окружности. Абсциссы точек на единичной окружности могут принимать значения от -1 (в самой левой точке) до 1 (в самой правой точке) включительно. Поэтому для любого действительного $x$ справедливо неравенство:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Следовательно, множество значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.

г) Для нахождения множества значений функции $y = \sin x - 1$ воспользуемся известным множеством значений для $y = \sin x$. Значения синуса находятся в интервале от -1 до 1:
$-1 \le \sin x \le 1$.
Чтобы получить выражение для $y$, вычтем 1 из всех частей этого двойного неравенства:
$-1 - 1 \le \sin x - 1 \le 1 - 1$
$-2 \le \sin x - 1 \le 0$
Так как $y = \sin x - 1$, получаем:
$-2 \le y \le 0$.
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[-2, 0]$. Графически это соответствует сдвигу графика $y=\sin x$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат.

Ответ: $E(y) = [-2, 0]$.