Номер 36, страница 21 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 36, страница 21.

Условие.

36.—

a) $y = 2 + \sin x$;

б) $y = 1 + \operatorname{tg} x$;

в) $y = \cos x - 1$;

г) $y = 3 + \sin x$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $y = 2 + \sin x$

Чтобы найти область значений функции, нужно определить все возможные значения, которые может принимать $y$.
Известно, что область значений функции $y = \sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого $x$ выполняется неравенство:
$-1 \le \sin x \le 1$
Чтобы получить функцию $y = 2 + \sin x$, прибавим 2 ко всем частям этого двойного неравенства:
$2 - 1 \le 2 + \sin x \le 2 + 1$
$1 \le y \le 3$
Таким образом, область значений данной функции — это все числа от 1 до 3, включая концы.
Ответ: $E(y) = [1, 3]$.

б) $y = 1 + \tg x$

Область значений функции $y = \tg x$ — это множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty, +\infty)$.
Функция $y = 1 + \tg x$ представляет собой сумму функции $\tg x$ и константы 1. Так как $\tg x$ может принимать любое действительное значение, то и сумма $1 + \tg x$ также может принимать любое действительное значение. Сдвиг графика функции $\tg x$ на 1 единицу вверх по оси OY не меняет её области значений.
Ответ: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

в) $y = \cos x - 1$

Область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это можно записать в виде неравенства:
$-1 \le \cos x \le 1$
Чтобы получить данную функцию $y = \cos x - 1$, вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-1 - 1 \le \cos x - 1 \le 1 - 1$
$-2 \le y \le 0$
Следовательно, область значений функции — это отрезок от -2 до 0 включительно.
Ответ: $E(y) = [-2, 0]$.

г) $y = 3 + \sin x$

Решение аналогично пункту а). Мы исходим из того, что область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.
$-1 \le \sin x \le 1$
Прибавим 3 ко всем частям неравенства, чтобы получить выражение для $y$:
$3 - 1 \le 3 + \sin x \le 3 + 1$
$2 \le y \le 4$
Таким образом, область значений функции — это отрезок от 2 до 4 включительно.
Ответ: $E(y) = [2, 4]$.