Номер 31, страница 20 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 31, страница 20.

Условие.

31. Найдите знак числа:

a) $\sin \frac{3\pi}{7} \cos \frac{9\pi}{8} \tan 2.3\pi;$

б) $\sin 1 \cos 3 \tan 5;$

в) $\sin 1.3\pi \cos \frac{7\pi}{9} \tan 2.9;$

г) $\sin 8 \cos 0.7 \tan 6.4.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\sin\frac{3\pi}{7}\cos\frac{9\pi}{8}\mathrm{tg}\,2,3\pi$

Чтобы определить знак выражения, найдем знак каждого множителя, определив, в какой четверти находится угол.

1. $\sin\frac{3\pi}{7}$: Угол $\frac{3\pi}{7}$. Так как $0 < \frac{3}{7} < \frac{1}{2}$, то $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$. Это I четверть, где синус положителен. Значит, $\sin\frac{3\pi}{7} > 0$.

2. $\cos\frac{9\pi}{8}$: Угол $\frac{9\pi}{8} = \pi + \frac{\pi}{8}$. Так как $\pi < \pi + \frac{\pi}{8} < \frac{3\pi}{2}$, это III четверть, где косинус отрицателен. Значит, $\cos\frac{9\pi}{8} < 0$.

3. $\mathrm{tg}\,2,3\pi$: Угол $2,3\pi = 2\pi + 0,3\pi$. Отбросив полный оборот $2\pi$, получаем угол $0,3\pi$. Так как $0 < 0,3\pi < \frac{\pi}{2}$, это I четверть, где тангенс положителен. Значит, $\mathrm{tg}\,2,3\pi > 0$.

Перемножим знаки: $(+) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: минус.

б) $\sin 1 \cos 3 \mathrm{tg}\, 5$

Чтобы определить знак выражения, найдем знак каждого множителя. Углы даны в радианах. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$.

1. $\sin 1$: Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57$, угол 1 радиан находится в I четверти. Синус в I четверти положителен. Значит, $\sin 1 > 0$.

2. $\cos 3$: Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,57 < 3 < \pi \approx 3,14$, угол 3 радиана находится во II четверти. Косинус во II четверти отрицателен. Значит, $\cos 3 < 0$.

3. $\mathrm{tg}\, 5$: Так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71 < 5 < 2\pi \approx 6,28$, угол 5 радиан находится в IV четверти. Тангенс в IV четверти отрицателен. Значит, $\mathrm{tg}\, 5 < 0$.

Перемножим знаки: $(+) \cdot (-) \cdot (-) = (+)$.

Ответ: плюс.

в) $\sin 1,3\pi \cos\frac{7\pi}{9}\mathrm{tg}\,2,9$

Чтобы определить знак выражения, найдем знак каждого множителя.

1. $\sin 1,3\pi$: Угол $1,3\pi$. Так как $\pi < 1,3\pi < 1,5\pi = \frac{3\pi}{2}$, это III четверть, где синус отрицателен. Значит, $\sin 1,3\pi < 0$.

2. $\cos\frac{7\pi}{9}$: Угол $\frac{7\pi}{9}$. Так как $\frac{\pi}{2} = \frac{4,5\pi}{9}$, имеем $\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{9} < \pi$. Это II четверть, где косинус отрицателен. Значит, $\cos\frac{7\pi}{9} < 0$.

3. $\mathrm{tg}\,2,9$: Угол 2,9 радиана. Используя $\pi \approx 3,14$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, получаем $\frac{\pi}{2} < 2,9 < \pi$. Это II четверть, где тангенс отрицателен. Значит, $\mathrm{tg}\,2,9 < 0$.

Перемножим знаки: $(-) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: минус.

г) $\sin 8 \cos 0,7 \mathrm{tg}\, 6,4$

Чтобы определить знак выражения, найдем знак каждого множителя. Углы даны в радианах. Используем приближенные значения $\pi \approx 3,14$, $2\pi \approx 6,28$, $\frac{5\pi}{2} \approx 7,85$, $3\pi \approx 9,42$.

1. $\sin 8$: Угол 8 радиан. Так как $\frac{5\pi}{2} \approx 7,85 < 8 < 3\pi \approx 9,42$, угол 8 радиан находится во II четверти. Синус во II четверти положителен. Значит, $\sin 8 > 0$.

2. $\cos 0,7$: Угол 0,7 радиана. Так как $0 < 0,7 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57$, это I четверть, где косинус положителен. Значит, $\cos 0,7 > 0$.

3. $\mathrm{tg}\, 6,4$: Угол 6,4 радиана. Так как $2\pi \approx 6,28 < 6,4 < \frac{5\pi}{2} \approx 7,85$, угол 6,4 радиана находится в I четверти (после одного полного оборота). Тангенс в I четверти положителен. Значит, $\mathrm{tg}\, 6,4 > 0$.

Перемножим знаки: $(+) \cdot (+) \cdot (+) = (+)$.

Ответ: плюс.