Страница 20 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

28. – Отметьте на единичной окружности точку $P_\alpha$, если:

а) $\alpha = \frac{\pi}{6}$, $\alpha = \frac{\pi}{2}$, $\alpha = \frac{3\pi}{4}$;

б) $\alpha = \frac{\pi}{4}$, $\alpha = \pi$, $\alpha = -\frac{\pi}{2}$;

в) $\alpha = \frac{\pi}{3}$, $\alpha = \frac{3\pi}{2}$, $\alpha = -\frac{\pi}{4}$;

г) $\alpha = -\frac{\pi}{6}$, $\alpha = 2\pi$, $\alpha = \frac{5\pi}{4}$.

Для решения этой задачи мы будем использовать единичную окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат (0,0). Точка $P_{\alpha}$ на этой окружности соответствует углу $\alpha$, отложенному от положительного направления оси абсцисс (от точки (1,0)). Положительные углы откладываются против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Полный оборот составляет $2\pi$ радиан или $360^{\circ}$.

а)

1. Точка для $\alpha = \frac{\pi}{6}$:
Угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$ радиан равен $30^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $30^{\circ}$ против часовой стрелки. Точка $P_{\pi/6}$ окажется в первой координатной четверти. Ее координаты равны $(\cos(\frac{\pi}{6}), \sin(\frac{\pi}{6})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

2. Точка для $\alpha = \frac{\pi}{2}$:
Угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$ радиан равен $90^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $90^{\circ}$ против часовой стрелки. Точка $P_{\pi/2}$ окажется на положительной полуоси ординат (ось Oy). Ее координаты равны $(\cos(\frac{\pi}{2}), \sin(\frac{\pi}{2})) = (0, 1)$.

3. Точка для $\alpha = \frac{3\pi}{4}$:
Угол $\alpha = \frac{3\pi}{4}$ радиан равен $135^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $135^{\circ}$ против часовой стрелки. Так как $90^{\circ} < 135^{\circ} < 180^{\circ}$, точка $P_{3\pi/4}$ окажется во второй координатной четверти. Ее координаты равны $(\cos(\frac{3\pi}{4}), \sin(\frac{3\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Точка $P_{\pi/6}$ находится в I четверти, точка $P_{\pi/2}$ — на положительной полуоси Oy, точка $P_{3\pi/4}$ — во II четверти.

б)

1. Точка для $\alpha = \frac{\pi}{4}$:
Угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$ радиан равен $45^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $45^{\circ}$ против часовой стрелки. Точка $P_{\pi/4}$ окажется в первой координатной четверти, деля ее дугу пополам. Ее координаты равны $(\cos(\frac{\pi}{4}), \sin(\frac{\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

2. Точка для $\alpha = \pi$:
Угол $\alpha = \pi$ радиан равен $180^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $180^{\circ}$ против часовой стрелки. Точка $P_{\pi}$ окажется на отрицательной полуоси абсцисс (ось Ox). Ее координаты равны $(\cos(\pi), \sin(\pi)) = (-1, 0)$.

3. Точка для $\alpha = -\frac{\pi}{2}$:
Угол отрицательный, поэтому откладываем его по часовой стрелке. Угол $\alpha = -\frac{\pi}{2}$ радиан равен $-90^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $90^{\circ}$ по часовой стрелке. Точка $P_{-\pi/2}$ окажется на отрицательной полуоси ординат (ось Oy). Ее координаты равны $(\cos(-\frac{\pi}{2}), \sin(-\frac{\pi}{2})) = (0, -1)$.

Ответ: Точка $P_{\pi/4}$ находится в I четверти, точка $P_{\pi}$ — на отрицательной полуоси Ox, точка $P_{-\pi/2}$ — на отрицательной полуоси Oy.

в)

1. Точка для $\alpha = \frac{\pi}{3}$:
Угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$ радиан равен $60^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $60^{\circ}$ против часовой стрелки. Точка $P_{\pi/3}$ окажется в первой координатной четверти. Ее координаты равны $(\cos(\frac{\pi}{3}), \sin(\frac{\pi}{3})) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

2. Точка для $\alpha = \frac{3\pi}{2}$:
Угол $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ радиан равен $270^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $270^{\circ}$ против часовой стрелки. Точка $P_{3\pi/2}$ окажется на отрицательной полуоси ординат (ось Oy). Ее координаты равны $(\cos(\frac{3\pi}{2}), \sin(\frac{3\pi}{2})) = (0, -1)$.

3. Точка для $\alpha = -\frac{\pi}{4}$:
Угол отрицательный, откладываем его по часовой стрелке. Угол $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ радиан равен $-45^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $45^{\circ}$ по часовой стрелке. Точка $P_{-\pi/4}$ окажется в четвертой координатной четверти. Ее координаты равны $(\cos(-\frac{\pi}{4}), \sin(-\frac{\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Точка $P_{\pi/3}$ находится в I четверти, точка $P_{3\pi/2}$ — на отрицательной полуоси Oy, точка $P_{-\pi/4}$ — в IV четверти.

г)

1. Точка для $\alpha = -\frac{\pi}{6}$:
Угол отрицательный, откладываем его по часовой стрелке. Угол $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ радиан равен $-30^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $30^{\circ}$ по часовой стрелке. Точка $P_{-\pi/6}$ окажется в четвертой координатной четверти. Ее координаты равны $(\cos(-\frac{\pi}{6}), \sin(-\frac{\pi}{6})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.

2. Точка для $\alpha = 2\pi$:
Угол $\alpha = 2\pi$ радиан равен $360^{\circ}$, что соответствует полному обороту. Отложив от точки (1,0) угол $360^{\circ}$ против часовой стрелки, мы вернемся в исходную точку. Таким образом, точка $P_{2\pi}$ совпадает с точкой $P_0$. Ее координаты равны $(\cos(2\pi), \sin(2\pi)) = (1, 0)$.

3. Точка для $\alpha = \frac{5\pi}{4}$:
Угол $\alpha = \frac{5\pi}{4}$ радиан равен $225^{\circ}$. Его можно представить как $\pi + \frac{\pi}{4}$. Откладываем от точки (1,0) угол $225^{\circ}$ против часовой стрелки. Так как $180^{\circ} < 225^{\circ} < 270^{\circ}$, точка $P_{5\pi/4}$ окажется в третьей координатной четверти. Ее координаты равны $(\cos(\frac{5\pi}{4}), \sin(\frac{5\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Точка $P_{-\pi/6}$ находится в IV четверти, точка $P_{2\pi}$ — на положительной полуоси Ox, точка $P_{5\pi/4}$ — в III четверти.

29.— Найдите координаты точки $P_\alpha$ единичной окружности, если

$\alpha$ равно:

а) $\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, -\pi;$

б) $-\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{2};$

в) $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, 3\pi;$

г) $\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{2}.$

Координаты точки $P_{\alpha}$ на единичной окружности, центр которой находится в начале координат, определяются по формулам $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$. Таким образом, точка имеет координаты $P_{\alpha}(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Найдем координаты для каждого из заданных углов.

а)

Для угла $\alpha = \frac{\pi}{2}$, координаты точки $P_{\frac{\pi}{2}}$ равны $(\cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2}) = (0, 1)$.

Для угла $\alpha = \frac{\pi}{4}$, координаты точки $P_{\frac{\pi}{4}}$ равны $(\cos \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Для угла $\alpha = -\pi$, используя свойства чётности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$) и нечётности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем: $P_{-\pi} = (\cos(-\pi), \sin(-\pi)) = (\cos \pi, -\sin \pi) = (-1, 0)$.

Ответ: $P_{\frac{\pi}{2}}(0, 1)$; $P_{\frac{\pi}{4}}(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$; $P_{-\pi}(-1, 0)$.

б)

Для угла $\alpha = -\frac{\pi}{6}$, используя свойства чётности и нечётности: $P_{-\frac{\pi}{6}} = (\cos(-\frac{\pi}{6}), \sin(-\frac{\pi}{6})) = (\cos \frac{\pi}{6}, -\sin \frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.

Для угла $\alpha = \frac{2\pi}{3}$, используя формулы приведения: $P_{\frac{2\pi}{3}} = (\cos \frac{2\pi}{3}, \sin \frac{2\pi}{3}) = (\cos(\pi - \frac{\pi}{3}), \sin(\pi - \frac{\pi}{3})) = (-\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для угла $\alpha = \frac{3\pi}{2}$, координаты точки $P_{\frac{3\pi}{2}}$ равны $(\cos \frac{3\pi}{2}, \sin \frac{3\pi}{2}) = (0, -1)$.

Ответ: $P_{-\frac{\pi}{6}}(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$; $P_{\frac{2\pi}{3}}(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$; $P_{\frac{3\pi}{2}}(0, -1)$.

в)

Для угла $\alpha = -\frac{\pi}{2}$, используя свойства чётности и нечётности: $P_{-\frac{\pi}{2}} = (\cos(-\frac{\pi}{2}), \sin(-\frac{\pi}{2})) = (\cos \frac{\pi}{2}, -\sin \frac{\pi}{2}) = (0, -1)$.

Для угла $\alpha = \frac{\pi}{3}$, координаты точки $P_{\frac{\pi}{3}}$ равны $(\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для угла $\alpha = 3\pi$, учитывая, что период тригонометрических функций равен $2\pi$, имеем $3\pi = 2\pi + \pi$. Следовательно, точка $P_{3\pi}$ совпадает с точкой $P_{\pi}$. Её координаты: $P_{3\pi} = (\cos \pi, \sin \pi) = (-1, 0)$.

Ответ: $P_{-\frac{\pi}{2}}(0, -1)$; $P_{\frac{\pi}{3}}(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$; $P_{3\pi}(-1, 0)$.

г)

Для угла $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, используя формулы приведения: $P_{\frac{3\pi}{4}} = (\cos \frac{3\pi}{4}, \sin \frac{3\pi}{4}) = (\cos(\pi - \frac{\pi}{4}), \sin(\pi - \frac{\pi}{4})) = (-\cos \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Для угла $\alpha = -\frac{\pi}{3}$, используя свойства чётности и нечётности: $P_{-\frac{\pi}{3}} = (\cos(-\frac{\pi}{3}), \sin(-\frac{\pi}{3})) = (\cos \frac{\pi}{3}, -\sin \frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для угла $\alpha = \frac{5\pi}{2}$, учитывая, что период тригонометрических функций равен $2\pi$, имеем $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Следовательно, точка $P_{\frac{5\pi}{2}}$ совпадает с точкой $P_{\frac{\pi}{2}}$. Её координаты: $P_{\frac{5\pi}{2}} = (\cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2}) = (0, 1)$.

Ответ: $P_{\frac{3\pi}{4}}(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$; $P_{-\frac{\pi}{3}}(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$; $P_{\frac{5\pi}{2}}(0, 1)$.

30. В какой четверти координатной плоскости расположена точка $P_\alpha$, если $\alpha$ равно:

а) $\frac{3\pi}{8}$, $\frac{8\pi}{7}$, -2,7;

б) $\frac{5\pi}{3}$, $1.8\pi$, -3,2;

в) $\frac{7\pi}{4}$, $-\frac{2\pi}{5}$, 1,9;

г) $\frac{5\pi}{9}$, $-2.3\pi$, 3,7?

Для определения координатной четверти, в которой находится точка $P_\alpha$, необходимо соотнести угол $\alpha$ (в радианах) с границами четвертей:

• I четверть: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (приблизительно $0 < \alpha < 1,57$)
• II четверть: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (приблизительно $1,57 < \alpha < 3,14$)
• III четверть: $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (приблизительно $3,14 < \alpha < 4,71$)
• IV четверть: $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ (приблизительно $4,71 < \alpha < 6,28$)

К любому углу можно прибавлять или вычитать целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ - целое число), при этом положение точки на окружности не изменится.

а)

Для угла $\alpha = \frac{3\pi}{8}$:
Сравним этот угол с границей первой четверти $\frac{\pi}{2}$. Так как $\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$, то $\frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$.
Таким образом, $0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$, следовательно, точка расположена в I четверти.

Для угла $\alpha = \frac{8\pi}{7}$:
Представим угол в виде $\frac{8\pi}{7} = \pi + \frac{\pi}{7}$, что показывает, что угол больше $\pi$.
Сравним его с $\frac{3\pi}{2}$. Так как $\frac{8}{7} \approx 1,14$ а $\frac{3}{2} = 1,5$, то $\frac{8\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}$.
Таким образом, $\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}$, следовательно, точка расположена в III четверти.

Для угла $\alpha = -2,7$ (радиан):
Угол отрицательный, отсчет идет по часовой стрелке. Используем приближенные значения: $-\frac{\pi}{2} \approx -1,57$ и $-\pi \approx -3,14$.
Поскольку $-3,14 < -2,7 < -1,57$, то есть $-\pi < -2,7 < -\frac{\pi}{2}$.
Следовательно, точка расположена в III четверти.

Ответ: I, III, III.

б)

Для угла $\alpha = \frac{5\pi}{3}$:
Сравним с границами $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$. Так как $\frac{3}{2} = 1,5$, а $\frac{5}{3} \approx 1,67$, то $\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$.
Следовательно, точка расположена в IV четверти.

Для угла $\alpha = 1,8\pi$:
Сравним с границами $\frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$ и $2\pi$.
Поскольку $1,5\pi < 1,8\pi < 2\pi$.
Следовательно, точка расположена в IV четверти.

Для угла $\alpha = -3,2$ (радиан):
Угол отрицательный. Используем приближенные значения: $-\pi \approx -3,14$ и $-\frac{3\pi}{2} \approx -4,71$.
Поскольку $-4,71 < -3,2 < -3,14$, то есть $-\frac{3\pi}{2} < -3,2 < -\pi$.
Следовательно, точка расположена в II четверти.

Ответ: IV, IV, II.

в)

Для угла $\alpha = \frac{7\pi}{4}$:
Сравним с границами $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$. Так как $\frac{3}{2}=1,5$, а $\frac{7}{4}=1,75$, то $\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$.
Следовательно, точка расположена в IV четверти.

Для угла $\alpha = -\frac{2\pi}{5}$:
Угол отрицательный. Сравним с $0$ и $-\frac{\pi}{2}$. Так как $-\frac{1}{2} < -\frac{2}{5} < 0$, то $-\frac{\pi}{2} < -\frac{2\pi}{5} < 0$.
Следовательно, точка расположена в IV четверти.

Для угла $\alpha = 1,9$ (радиан):
Используем приближенные значения: $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$.
Поскольку $1,57 < 1,9 < 3,14$, то есть $\frac{\pi}{2} < 1,9 < \pi$.
Следовательно, точка расположена в II четверти.

Ответ: IV, IV, II.

г)

Для угла $\alpha = \frac{5\pi}{9}$:
Сравним с границами $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$. Так как $\frac{1}{2} < \frac{5}{9} < 1$, то $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \pi$.
Следовательно, точка расположена в II четверти.

Для угла $\alpha = -2,3\pi$:
Прибавим два полных оборота, чтобы получить положительный угол в пределах одного круга: $-2,3\pi + 2 \cdot 2\pi = -2,3\pi + 4\pi = 1,7\pi$.
Теперь сравним $1,7\pi$ с границами: $1,5\pi < 1,7\pi < 2\pi$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 1,7\pi < 2\pi$.
Следовательно, точка расположена в IV четверти.

Для угла $\alpha = 3,7$ (радиан):
Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.
Поскольку $3,14 < 3,7 < 4,71$, то есть $\pi < 3,7 < \frac{3\pi}{2}$.
Следовательно, точка расположена в III четверти.

Ответ: II, IV, III.

31. Найдите знак числа:

a) $\sin \frac{3\pi}{7} \cos \frac{9\pi}{8} \tan 2.3\pi;$

б) $\sin 1 \cos 3 \tan 5;$

в) $\sin 1.3\pi \cos \frac{7\pi}{9} \tan 2.9;$

г) $\sin 8 \cos 0.7 \tan 6.4.$

а) $\sin\frac{3\pi}{7}\cos\frac{9\pi}{8}\mathrm{tg}\,2,3\pi$

Чтобы определить знак выражения, найдем знак каждого множителя, определив, в какой четверти находится угол.

1. $\sin\frac{3\pi}{7}$: Угол $\frac{3\pi}{7}$. Так как $0 < \frac{3}{7} < \frac{1}{2}$, то $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$. Это I четверть, где синус положителен. Значит, $\sin\frac{3\pi}{7} > 0$.

2. $\cos\frac{9\pi}{8}$: Угол $\frac{9\pi}{8} = \pi + \frac{\pi}{8}$. Так как $\pi < \pi + \frac{\pi}{8} < \frac{3\pi}{2}$, это III четверть, где косинус отрицателен. Значит, $\cos\frac{9\pi}{8} < 0$.

3. $\mathrm{tg}\,2,3\pi$: Угол $2,3\pi = 2\pi + 0,3\pi$. Отбросив полный оборот $2\pi$, получаем угол $0,3\pi$. Так как $0 < 0,3\pi < \frac{\pi}{2}$, это I четверть, где тангенс положителен. Значит, $\mathrm{tg}\,2,3\pi > 0$.

Перемножим знаки: $(+) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: минус.

б) $\sin 1 \cos 3 \mathrm{tg}\, 5$

Чтобы определить знак выражения, найдем знак каждого множителя. Углы даны в радианах. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$.

1. $\sin 1$: Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57$, угол 1 радиан находится в I четверти. Синус в I четверти положителен. Значит, $\sin 1 > 0$.

2. $\cos 3$: Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,57 < 3 < \pi \approx 3,14$, угол 3 радиана находится во II четверти. Косинус во II четверти отрицателен. Значит, $\cos 3 < 0$.

3. $\mathrm{tg}\, 5$: Так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71 < 5 < 2\pi \approx 6,28$, угол 5 радиан находится в IV четверти. Тангенс в IV четверти отрицателен. Значит, $\mathrm{tg}\, 5 < 0$.

Перемножим знаки: $(+) \cdot (-) \cdot (-) = (+)$.

Ответ: плюс.

в) $\sin 1,3\pi \cos\frac{7\pi}{9}\mathrm{tg}\,2,9$

Чтобы определить знак выражения, найдем знак каждого множителя.

1. $\sin 1,3\pi$: Угол $1,3\pi$. Так как $\pi < 1,3\pi < 1,5\pi = \frac{3\pi}{2}$, это III четверть, где синус отрицателен. Значит, $\sin 1,3\pi < 0$.

2. $\cos\frac{7\pi}{9}$: Угол $\frac{7\pi}{9}$. Так как $\frac{\pi}{2} = \frac{4,5\pi}{9}$, имеем $\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{9} < \pi$. Это II четверть, где косинус отрицателен. Значит, $\cos\frac{7\pi}{9} < 0$.

3. $\mathrm{tg}\,2,9$: Угол 2,9 радиана. Используя $\pi \approx 3,14$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, получаем $\frac{\pi}{2} < 2,9 < \pi$. Это II четверть, где тангенс отрицателен. Значит, $\mathrm{tg}\,2,9 < 0$.

Перемножим знаки: $(-) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: минус.

г) $\sin 8 \cos 0,7 \mathrm{tg}\, 6,4$

Чтобы определить знак выражения, найдем знак каждого множителя. Углы даны в радианах. Используем приближенные значения $\pi \approx 3,14$, $2\pi \approx 6,28$, $\frac{5\pi}{2} \approx 7,85$, $3\pi \approx 9,42$.

1. $\sin 8$: Угол 8 радиан. Так как $\frac{5\pi}{2} \approx 7,85 < 8 < 3\pi \approx 9,42$, угол 8 радиан находится во II четверти. Синус во II четверти положителен. Значит, $\sin 8 > 0$.

2. $\cos 0,7$: Угол 0,7 радиана. Так как $0 < 0,7 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57$, это I четверть, где косинус положителен. Значит, $\cos 0,7 > 0$.

3. $\mathrm{tg}\, 6,4$: Угол 6,4 радиана. Так как $2\pi \approx 6,28 < 6,4 < \frac{5\pi}{2} \approx 7,85$, угол 6,4 радиана находится в I четверти (после одного полного оборота). Тангенс в I четверти положителен. Значит, $\mathrm{tg}\, 6,4 > 0$.

Перемножим знаки: $(+) \cdot (+) \cdot (+) = (+)$.

Ответ: плюс.

32. Найдите значения синуса и косинуса $\alpha$, если $\alpha$ равно:

а) $4\pi$, $-\pi$;

б) $\frac{5\pi}{2}$, $-5.5\pi$;

в) $\pi$, $-2\pi$;

г) $\frac{9\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2}$.

а) $4\pi, -\pi$

Для нахождения значений синуса и косинуса воспользуемся свойствами тригонометрических функций и единичной окружностью.

1. Для $\alpha = 4\pi$:

Функции синуса и косинуса являются периодическими с периодом $2\pi$. Это значит, что их значения повторяются через каждый полный оборот. Угол $4\pi$ соответствует двум полным оборотам ($4\pi = 2 \cdot 2\pi$). Следовательно, значения синуса и косинуса для угла $4\pi$ будут такими же, как для угла $0$.

$\sin(4\pi) = \sin(0 + 2 \cdot 2\pi) = \sin(0) = 0$

$\cos(4\pi) = \cos(0 + 2 \cdot 2\pi) = \cos(0) = 1$

2. Для $\alpha = -\pi$:

Для отрицательных углов можно использовать свойства четности: синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin(x)$), а косинус — четная ($\cos(-x) = \cos(x)$).

$\sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$

$\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$

Ответ: для $\alpha = 4\pi$: $\sin(4\pi) = 0$, $\cos(4\pi) = 1$; для $\alpha = -\pi$: $\sin(-\pi) = 0$, $\cos(-\pi) = -1$.

б) $\frac{5\pi}{2}, -5,5\pi$

1. Для $\alpha = \frac{5\pi}{2}$:

Представим угол в виде суммы целого числа оборотов и угла в пределах от $0$ до $2\pi$.

$\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$

Используя периодичность функций:

$\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

2. Для $\alpha = -5,5\pi$:

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $-5,5\pi = -\frac{11\pi}{2}$. Чтобы найти значение, можно прибавить к углу такое количество полных оборотов ($2\pi$), чтобы получить удобный для вычисления угол. Прибавим $6\pi = 3 \cdot 2\pi = \frac{12\pi}{2}$.

$-\frac{11\pi}{2} + 6\pi = -\frac{11\pi}{2} + \frac{12\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

Так как добавление целого числа полных оборотов не меняет значения синуса и косинуса:

$\sin(-5,5\pi) = \sin(-\frac{11\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(-5,5\pi) = \cos(-\frac{11\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Ответ: для $\alpha = \frac{5\pi}{2}$: $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{5\pi}{2}) = 0$; для $\alpha = -5,5\pi$: $\sin(-5,5\pi) = 1$, $\cos(-5,5\pi) = 0$.

в) $\pi, -2\pi$

1. Для $\alpha = \pi$:

Это табличные значения, которые соответствуют точке $(-1, 0)$ на единичной окружности.

$\sin(\pi) = 0$

$\cos(\pi) = -1$

2. Для $\alpha = -2\pi$:

Угол $-2\pi$ соответствует одному полному обороту по часовой стрелке, что приводит в ту же точку на единичной окружности, что и угол $0$.

$\sin(-2\pi) = \sin(0) = 0$

$\cos(-2\pi) = \cos(0) = 1$

Ответ: для $\alpha = \pi$: $\sin(\pi) = 0$, $\cos(\pi) = -1$; для $\alpha = -2\pi$: $\sin(-2\pi) = 0$, $\cos(-2\pi) = 1$.

г) $\frac{9\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}$

1. Для $\alpha = \frac{9\pi}{2}$:

Выделим целое число оборотов:

$\frac{9\pi}{2} = \frac{8\pi + \pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}$

В силу периодичности:

$\sin(\frac{9\pi}{2}) = \sin(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(\frac{9\pi}{2}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

2. Для $\alpha = -\frac{3\pi}{2}$:

Прибавим к углу один полный оборот $2\pi$, чтобы получить положительный угол.

$-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = -\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

Следовательно:

$\sin(-\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Ответ: для $\alpha = \frac{9\pi}{2}$: $\sin(\frac{9\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{9\pi}{2}) = 0$; для $\alpha = -\frac{3\pi}{2}$: $\sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$, $\cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0$.

33. Постройте график функции:

a) $y = \cos \left( \frac{3\pi}{2} + x \right);$

б) $y = -\sin (x + \pi);$

в) $y = \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right);$

г) $y = \text{tg} (x + \pi).$

а) Для построения графика функции $y = \cos(\frac{3\pi}{2} + x)$ необходимо сначала упростить выражение, используя формулы приведения. Согласно формуле приведения, $\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin(x)$. Это следует из того, что при добавлении $\frac{3\pi}{2}$ косинус меняется на синус, а знак определяется по исходной функции: угол $(\frac{3\pi}{2} + x)$ находится в IV четверти, где косинус положителен.
Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = \sin(x)$.
Это стандартная синусоида, обладающая следующими свойствами:
- Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
- Область значений: отрезок $[-1, 1]$, $E(y) = [-1, 1]$.
- Функция является периодической с основным периодом $T = 2\pi$.
- График проходит через начало координат $(0, 0)$.
- Нули функции (точки пересечения с осью абсцисс) находятся в точках $x = k\pi$, где $k$ — целое число.
- Максимумы, равные 1, достигаются в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
- Минимумы, равные -1, достигаются в точках $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.
Ответ: График функции $y = \cos(\frac{3\pi}{2} + x)$ является стандартной синусоидой, графиком функции $y = \sin(x)$.

б) Упростим функцию $y = -\sin(x + \pi)$ с помощью формул приведения. Для синуса справедливо тождество $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$. Подставим это в исходное уравнение:
$y = -(-\sin(x)) = \sin(x)$.
Таким образом, как и в предыдущем пункте, мы получили функцию $y = \sin(x)$.
Следовательно, график этой функции — синусоида, полностью совпадающая с графиком, описанным в пункте а).
Ответ: График функции $y = -\sin(x + \pi)$ является стандартной синусоидой, графиком функции $y = \sin(x)$.

в) Рассмотрим функцию $y = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$. По формуле приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$. Это следует из того, что при вычитании из $\frac{\pi}{2}$ косинус меняется на синус, а знак определяется по исходной функции: угол $(\frac{\pi}{2} - x)$ для малого положительного $x$ находится в I четверти, где косинус положителен.
Функция снова сводится к $y = \sin(x)$.
Также можно было использовать свойство четности косинуса: $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - x)) = \cos(x - \frac{\pi}{2})$. График $y = \cos(x - \frac{\pi}{2})$ получается сдвигом графика $y = \cos(x)$ вправо на $\frac{\pi}{2}$, что в точности дает график $y = \sin(x)$.
График этой функции — та же самая синусоида, что и в пунктах а) и б).
Ответ: График функции $y = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ является стандартной синусоидой, графиком функции $y = \sin(x)$.

г) Рассмотрим функцию $y = \tan(x + \pi)$. Функция тангенса является периодической с основным периодом $\pi$. Это означает, что для любого целого $k$ выполняется равенство $\tan(\alpha + k\pi) = \tan(\alpha)$. В нашем случае $k=1$, следовательно:
$y = \tan(x + \pi) = \tan(x)$.
Задача сводится к построению графика функции $y = \tan(x)$.
Это стандартная тангенсоида со следующими свойствами:
- Область определения: все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число.
- Область значений: все действительные числа, $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
- Функция является периодической с основным периодом $T = \pi$.
- График имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
- Нули функции (точки пересечения с осью абсцисс) находятся в точках $x = k\pi$.
- Функция является возрастающей на всей области определения.
Ответ: График функции $y = \tan(x + \pi)$ является стандартной тангенсоидой, графиком функции $y = \tan(x)$.

34.— На единичной окружности отметьте точку $P_{\alpha} (x; y)$, координаты которой удовлетворяют условию:

а) $y = 0,5, x > 0;$

б) $x = -\frac{1}{2}, y > 0;$

в) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}, y > 0;$

г) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}, x < 0.$

Для нахождения координат точки $P_\alpha(x; y)$ на единичной окружности используется её уравнение: $x^2 + y^2 = 1$. Мы подставим известные значения координат в это уравнение, найдем возможные значения для неизвестной координаты, а затем выберем подходящее, используя дополнительное условие (неравенство).

а) Даны условия $y = 0,5$ и $x > 0$.
Подставим значение $y = 0,5 = \frac{1}{2}$ в уравнение единичной окружности:
$x^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1$
$x^2 + \frac{1}{4} = 1$
$x^2 = 1 - \frac{1}{4}$
$x^2 = \frac{3}{4}$
$x = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
Согласно условию $x > 0$, выбираем положительное значение $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, искомая точка $P_\alpha$ имеет координаты $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$. Эта точка находится в первой координатной четверти.
Ответ: $P_\alpha\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$.

б) Даны условия $x = -\frac{1}{2}$ и $y > 0$.
Подставим значение $x = -\frac{1}{2}$ в уравнение единичной окружности:
$\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = 1$
$\frac{1}{4} + y^2 = 1$
$y^2 = 1 - \frac{1}{4}$
$y^2 = \frac{3}{4}$
$y = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
Согласно условию $y > 0$, выбираем положительное значение $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, искомая точка $P_\alpha$ имеет координаты $\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Эта точка находится во второй координатной четверти.
Ответ: $P_\alpha\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

в) Даны условия $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y > 0$.
Подставим значение $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ в уравнение единичной окружности:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + y^2 = 1$
$\frac{3}{4} + y^2 = 1$
$y^2 = 1 - \frac{3}{4}$
$y^2 = \frac{1}{4}$
$y = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$
Согласно условию $y > 0$, выбираем положительное значение $y = \frac{1}{2}$.
Таким образом, искомая точка $P_\alpha$ имеет координаты $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$. Эта точка находится в первой координатной четверти.
Ответ: $P_\alpha\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$.

г) Даны условия $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x < 0$.
Подставим значение $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ в уравнение единичной окружности:
$x^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1$
$x^2 + \frac{2}{4} = 1$
$x^2 + \frac{1}{2} = 1$
$x^2 = 1 - \frac{1}{2}$
$x^2 = \frac{1}{2}$
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
Согласно условию $x < 0$, выбираем отрицательное значение $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, искомая точка $P_\alpha$ имеет координаты $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Эта точка находится в третьей координатной четверти.
Ответ: $P_\alpha\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

35. На миллиметровой бумаге постройте единичную окружность, а затем центральный угол $\alpha$, такой, что:

a) $\sin \alpha = -0,5;$

б) $\cos \alpha = 0,3;$

в) $\cos \alpha = -0,4;$

г) $\operatorname{tg} \alpha = 2.$

Для решения задачи сначала построим единичную окружность в декартовой системе координат. Это окружность с центром в начале координат $O(0,0)$ и радиусом $R=1$. Точка $P$, лежащая на окружности и образующая с положительным направлением оси Ox угол $\alpha$, имеет координаты $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. На миллиметровой бумаге удобно выбрать масштаб, при котором радиус окружности будет равен, например, 10 клеткам (или 5 см), чтобы 1 единица соответствовала 10 клеткам (5 см). Это позволит точно откладывать десятые доли единицы.

а) sin α = -0,5;

По определению, синус угла $\alpha$ на единичной окружности равен ординате (координате $y$) точки пересечения конечной стороны угла с окружностью. Таким образом, нам нужно построить угол $\alpha$, для которого координата $y = -0,5$.
1. Постройте единичную окружность с центром в начале координат.
2. На оси ординат (оси $Oy$) отметьте точку со значением $-0,5$. Если радиус окружности 10 клеток, это будет 5 клеток ниже оси $Ox$.
3. Через эту точку проведите горизонтальную прямую, параллельную оси $Ox$. Уравнение этой прямой $y = -0,5$.
4. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках, $P_1$ и $P_2$, расположенных в III и IV координатных четвертях.
5. Центральный угол $\alpha$ — это угол, образованный положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$) и лучом, проведенным из начала координат в одну из этих точек (например, $OP_1$ или $OP_2$).

Ответ: Построение заключается в нахождении точек пересечения прямой $y = -0,5$ с единичной окружностью и проведении радиус-вектора из начала координат в одну из этих точек. Полученный угол и будет искомым.

б) cos α = 0,3;

Косинус угла $\alpha$ на единичной окружности равен абсциссе (координате $x$) точки пересечения. Нам нужно найти угол $\alpha$, для которого $x = 0,3$.
1. Постройте единичную окружность.
2. На оси абсцисс (оси $Ox$) отметьте точку со значением $0,3$. Если радиус 10 клеток, это будет 3 клетки вправо от оси $Oy$.
3. Через эту точку проведите вертикальную прямую, параллельную оси $Oy$. Уравнение этой прямой $x = 0,3$.
4. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках, $P_1$ и $P_2$, расположенных в I и IV координатных четвертях.
5. Соедините начало координат с одной из этих точек (например, $P_1$). Полученный луч $OP_1$ образует с положительным направлением оси $Ox$ искомый угол $\alpha$.

Ответ: Построение заключается в нахождении точек пересечения прямой $x = 0,3$ с единичной окружностью и проведении радиус-вектора из начала координат в одну из этих точек.

в) cos α = -0,4;

Аналогично предыдущему пункту, ищем угол $\alpha$, для которого абсцисса точки на окружности $x = -0,4$.
1. Постройте единичную окружность.
2. На оси абсцисс (оси $Ox$) отметьте точку со значением $-0,4$. Если радиус 10 клеток, это будет 4 клетки влево от оси $Oy$.
3. Через эту точку проведите вертикальную прямую $x = -0,4$.
4. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках, $P_1$ и $P_2$, расположенных во II и III координатных четвертях.
5. Соедините начало координат с одной из этих точек (например, $P_1$ во второй четверти). Полученный луч $OP_1$ образует с положительным направлением оси $Ox$ искомый угол $\alpha$.

Ответ: Построение заключается в нахождении точек пересечения прямой $x = -0,4$ с единичной окружностью и проведении радиус-вектора из начала координат в одну из этих точек.

г) tg α = 2.

Тангенс угла $\alpha$ можно геометрически представить с помощью оси тангенсов. Ось тангенсов — это касательная к единичной окружности в точке $(1, 0)$.
1. Постройте единичную окружность и проведите касательную к ней в точке $(1, 0)$. Эта касательная является прямой $x=1$.
2. На этой оси тангенсов отложите от оси $Ox$ вверх отрезок длиной 2. Конец этого отрезка будет точка $T$ с координатами $(1, 2)$. (Если радиус 10 клеток, то нужно отложить 20 клеток вверх от точки $(1,0)$).
3. Проведите прямую через начало координат $O(0,0)$ и точку $T(1,2)$.
4. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках: $P_1$ в I четверти и $P_2$ в III четверти.
5. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP_1$, является искомым углом $\alpha$.

Ответ: Построение заключается в том, чтобы на касательной $x=1$ к единичной окружности отметить точку с ординатой 2, провести через нее и начало координат прямую и найти угол, который эта прямая образует с положительным направлением оси $Ox$.