Страница 13 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

15. – Найдите $ \sin \frac{\alpha}{2} $, $ \cos \frac{\alpha}{2} $, $ \text{tg } \frac{\alpha}{2} $, если:

а) $ \cos \alpha = -\frac{12}{13}, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $;

б) $ \sin \alpha = \frac{3}{5}, \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

в) $ \cos \alpha = \frac{24}{25}, \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $;

г) $ \sin \alpha = -\frac{8}{17}, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

а) Дано: $ \cos\alpha = -\frac{12}{13} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Сначала определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Так как $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, то, разделив неравенство на 2, получим $ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} $. Это означает, что угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Используем формулы половинного угла, учитывая знаки:

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{12}{13})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26} $.

$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{12}{13})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{12}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26} $.

$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{5/\sqrt{26}}{-1/\sqrt{26}} = -5 $.

Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{5\sqrt{26}}{26} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{26}}{26} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = -5 $.

б) Дано: $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Угол $ \alpha $ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Найдем $ \cos\alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $: $ \cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} $.

Определим четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Так как $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, то $ \frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $. Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится в первой четверти. В первой четверти и синус, и косинус положительны.

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $.

$ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{4}{5})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} $.

$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{3/\sqrt{10}}{1/\sqrt{10}} = 3 $.

Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = 3 $.

в) Дано: $ \cos\alpha = \frac{24}{25} $, $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

Определим четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Так как $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $, то $ \frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \pi $. Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{24}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10} $.

$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{24}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{49}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{49}{50}} = -\frac{7}{5\sqrt{2}} = -\frac{7\sqrt{2}}{10} $.

$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{\sqrt{2}/10}{-7\sqrt{2}/10} = -\frac{1}{7} $.

Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{10} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{7\sqrt{2}}{10} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{7} $.

г) Дано: $ \sin\alpha = -\frac{8}{17} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Угол $ \alpha $ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Найдем $ \cos\alpha $: $ \cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - (-\frac{8}{17})^2} = -\sqrt{1 - \frac{64}{289}} = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17} $.

Определим четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Так как $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, то $ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} $. Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти. Синус положителен, косинус отрицателен.

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{15}{17})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{15}{17}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{32}{17}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17} $.

$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{15}{17})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{15}{17}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{2}{17}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{\sqrt{17}}{17} $.

$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{4/\sqrt{17}}{-1/\sqrt{17}} = -4 $.

Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{4\sqrt{17}}{17} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{17}}{17} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = -4 $.

16. С помощью калькулятора или таблиц найдите значения $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $, $ \operatorname{tg} \alpha $, $ \operatorname{ctg} \alpha $, если:

а) $ \alpha = 0,19 $;

б) $ \alpha = 1,37 $;

в) $ \alpha = 0,9 $;

г) $ \alpha = 1,2 $.

Для нахождения значений тригонометрических функций воспользуемся калькулятором. Поскольку значения углов $ \alpha $ даны без указания градусов, будем считать, что они выражены в радианах. Поэтому необходимо переключить калькулятор в режим вычислений в радианах (RAD). Результаты будем округлять до четырех знаков после запятой.

а) Для угла $ \alpha = 0,19 $ радиан:
$ \sin(0,19) \approx 0,1889 $
$ \cos(0,19) \approx 0,9820 $
$ \text{tg}(0,19) = \frac{\sin(0,19)}{\cos(0,19)} \approx 0,1923 $
$ \text{ctg}(0,19) = \frac{1}{\text{tg}(0,19)} \approx 5,2002 $
Ответ: $ \sin(0,19) \approx 0,1889 $; $ \cos(0,19) \approx 0,9820 $; $ \text{tg}(0,19) \approx 0,1923 $; $ \text{ctg}(0,19) \approx 5,2002 $.

б) Для угла $ \alpha = 1,37 $ радиан:
$ \sin(1,37) \approx 0,9799 $
$ \cos(1,37) \approx 0,1994 $
$ \text{tg}(1,37) = \frac{\sin(1,37)}{\cos(1,37)} \approx 4,9152 $
$ \text{ctg}(1,37) = \frac{1}{\text{tg}(1,37)} \approx 0,2035 $
Ответ: $ \sin(1,37) \approx 0,9799 $; $ \cos(1,37) \approx 0,1994 $; $ \text{tg}(1,37) \approx 4,9152 $; $ \text{ctg}(1,37) \approx 0,2035 $.

в) Для угла $ \alpha = 0,9 $ радиан:
$ \sin(0,9) \approx 0,7833 $
$ \cos(0,9) \approx 0,6216 $
$ \text{tg}(0,9) = \frac{\sin(0,9)}{\cos(0,9)} \approx 1,2602 $
$ \text{ctg}(0,9) = \frac{1}{\text{tg}(0,9)} \approx 0,7936 $
Ответ: $ \sin(0,9) \approx 0,7833 $; $ \cos(0,9) \approx 0,6216 $; $ \text{tg}(0,9) \approx 1,2602 $; $ \text{ctg}(0,9) \approx 0,7936 $.

г) Для угла $ \alpha = 1,2 $ радиан:
$ \sin(1,2) \approx 0,9320 $
$ \cos(1,2) \approx 0,3624 $
$ \text{tg}(1,2) = \frac{\sin(1,2)}{\cos(1,2)} \approx 2,5722 $
$ \text{ctg}(1,2) = \frac{1}{\text{tg}(1,2)} \approx 0,3888 $
Ответ: $ \sin(1,2) \approx 0,9320 $; $ \cos(1,2) \approx 0,3624 $; $ \text{tg}(1,2) \approx 2,5722 $; $ \text{ctg}(1,2) \approx 0,3888 $.

17.- С помощью калькулятора или таблиц найдите:

а) радианные меры углов $17^\circ$; $43^\circ24'$; $83^\circ36'$; $72^\circ12'$;

б) градусные меры углов $0,384$; $0,48$; $1,11$; $1,48$.

а) Для нахождения радианной меры угла, заданного в градусах, используется формула: $ \alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180} $. Если угол содержит минуты ('), их необходимо предварительно перевести в доли градуса, используя соотношение $1^\circ = 60'$. В расчетах будем использовать значение $ \pi \approx 3.14159 $ и округлять результат до трех знаков после запятой.

1. Для угла $17^\circ$:
$17^\circ = 17 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx \frac{17 \cdot 3.14159}{180} \approx 0.297$ рад.

2. Для угла $43^\circ24'$:
Сначала переводим минуты в градусы: $24' = \frac{24}{60}^\circ = 0.4^\circ$.
Полный угол в градусах: $43^\circ + 0.4^\circ = 43.4^\circ$.
$43.4^\circ = 43.4 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx \frac{43.4 \cdot 3.14159}{180} \approx 0.757$ рад.

3. Для угла $83^\circ36'$:
Переводим минуты в градусы: $36' = \frac{36}{60}^\circ = 0.6^\circ$.
Полный угол в градусах: $83^\circ + 0.6^\circ = 83.6^\circ$.
$83.6^\circ = 83.6 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx \frac{83.6 \cdot 3.14159}{180} \approx 1.459$ рад.

4. Для угла $72^\circ12'$:
Переводим минуты в градусы: $12' = \frac{12}{60}^\circ = 0.2^\circ$.
Полный угол в градусах: $72^\circ + 0.2^\circ = 72.2^\circ$.
$72.2^\circ = 72.2 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx \frac{72.2 \cdot 3.14159}{180} \approx 1.260$ рад.

Ответ: $17^\circ \approx 0.297$ рад; $43^\circ24' \approx 0.757$ рад; $83^\circ36' \approx 1.459$ рад; $72^\circ12' \approx 1.260$ рад.

б) Для нахождения градусной меры угла, заданного в радианах, используется формула: $ \alpha_{\text{град}} = \alpha_{\text{рад}} \cdot \frac{180}{\pi} $. Дробную часть результата (в градусах) переводим в минуты, умножая ее на 60, и округляем до ближайшего целого. В расчетах будем использовать значение $ \pi \approx 3.14159 $.

1. Для угла $0.384$ радиан:
$0.384 \text{ рад} = 0.384 \cdot \frac{180}{\pi} \text{ градусов} \approx \frac{0.384 \cdot 180}{3.14159} \approx 22.001^\circ$.
Целая часть составляет $22^\circ$. Дробную часть переводим в минуты: $0.001 \cdot 60' \approx 0.06'$. Округляем до $0'$.
Итого: $22^\circ0'$.

2. Для угла $0.48$ радиан:
$0.48 \text{ рад} = 0.48 \cdot \frac{180}{\pi} \text{ градусов} \approx \frac{0.48 \cdot 180}{3.14159} \approx 27.502^\circ$.
Целая часть составляет $27^\circ$. Дробную часть переводим в минуты: $0.502 \cdot 60' \approx 30.12'$. Округляем до $30'$.
Итого: $27^\circ30'$.

3. Для угла $1.11$ радиан:
$1.11 \text{ рад} = 1.11 \cdot \frac{180}{\pi} \text{ градусов} \approx \frac{1.11 \cdot 180}{3.14159} \approx 63.595^\circ$.
Целая часть составляет $63^\circ$. Дробную часть переводим в минуты: $0.595 \cdot 60' \approx 35.7'$. Округляем до $36'$.
Итого: $63^\circ36'$.

4. Для угла $1.48$ радиан:
$1.48 \text{ рад} = 1.48 \cdot \frac{180}{\pi} \text{ градусов} \approx \frac{1.48 \cdot 180}{3.14159} \approx 84.793^\circ$.
Целая часть составляет $84^\circ$. Дробную часть переводим в минуты: $0.793 \cdot 60' \approx 47.58'$. Округляем до $48'$.
Итого: $84^\circ48'$.

Ответ: $0.384$ рад $\approx 22^\circ0'$; $0.48$ рад $\approx 27^\circ30'$; $1.11$ рад $\approx 63^\circ36'$; $1.48$ рад $\approx 84^\circ48'$.

18.— Вычислите длину дуги, если известны ее радианная мера $\alpha$ и радиус $R$ содержащей ее окружности:

а) $\alpha = 2, R = 1$ см;

б) $\alpha = \frac{3\pi}{4}, R = 6$ см;

в) $\alpha = 0,1 \text{ и } R = 1$ м;

г) $\alpha = \frac{9\pi}{10}, R = 10$ м.

Для вычисления длины дуги окружности $L$, если известны ее радианная мера $\alpha$ и радиус $R$ содержащей ее окружности, используется следующая формула:

$L = \alpha \cdot R$

Применим эту формулу для решения каждого подпункта задачи.

а)

Дано: радианная мера $\alpha = 2$ и радиус $R = 1$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$L = 2 \cdot 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Ответ: $2$ см.

б)

Дано: радианная мера $\alpha = \frac{3\pi}{4}$ и радиус $R = 6$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$L = \frac{3\pi}{4} \cdot 6 \text{ см} = \frac{18\pi}{4} \text{ см} = \frac{9\pi}{2} \text{ см}$

Это значение также можно записать как $4.5\pi$ см.

Ответ: $\frac{9\pi}{2}$ см.

в)

Дано: радианная мера $\alpha = 0.1$ и радиус $R = 1$ м.

Подставим эти значения в формулу:

$L = 0.1 \cdot 1 \text{ м} = 0.1 \text{ м}$

Ответ: $0.1$ м.

г)

Дано: радианная мера $\alpha = \frac{9\pi}{10}$ и радиус $R = 10$ м.

Подставим эти значения в формулу:

$L = \frac{9\pi}{10} \cdot 10 \text{ м} = 9\pi \text{ м}$

Ответ: $9\pi$ м.

19.— Вычислите площадь сектора, если известны радиус $R$ круга и радианная мера $\alpha$ центрального угла сектора:

a) $ \alpha = 0,1, R = 1 \text{ м}$;

б) $ \alpha = \frac{5\pi}{3}, R = 3 \text{ м}$.

Для вычисления площади сектора, если известны радиус $R$ круга и радианная мера $\alpha$ центрального угла, используется формула:

$S = \frac{1}{2} R^2 \alpha$

а) По условию даны: радианная мера угла $\alpha = 0,1$ и радиус круга $R = 1$ м.
Подставим эти значения в формулу для нахождения площади сектора:
$S = \frac{1}{2} \cdot (1)^2 \cdot 0,1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0,1 = 0,05$ м².
Ответ: $0,05$ м².

б) По условию даны: радианная мера угла $\alpha = \frac{5\pi}{3}$ и радиус круга $R = 3$ м.
Подставим эти значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot (3)^2 \cdot \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{5\pi}{3} = \frac{9 \cdot 5\pi}{2 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 5\pi}{2} = \frac{15\pi}{2}$ м².
Ответ: $\frac{15\pi}{2}$ м².

20. — а) Найдите радианную меру центрального угла сектора, если длина соответствующей дуги равна диаметру круга.

б) Длина дуги сектора втрое меньше его периметра. Найдите радианную меру его центрального угла.

а)

Пусть $R$ — радиус круга, $D$ — его диаметр, $L$ — длина дуги сектора, а $\alpha$ — искомая радианная мера центрального угла.
По определению, диаметр круга равен двум радиусам: $D = 2R$.
Согласно условию задачи, длина дуги равна диаметру круга: $L = D = 2R$.
Длина дуги сектора связана с центральным углом $\alpha$ (в радианах) и радиусом $R$ формулой: $L = \alpha \cdot R$.
Теперь мы можем приравнять два выражения для длины дуги $L$:
$\alpha \cdot R = 2R$
Поскольку радиус $R$ для любого круга является положительной величиной ($R > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $R$:
$\alpha = 2$
Таким образом, радианная мера центрального угла составляет 2 радиана.
Ответ: 2.

б)

Пусть $R$ — радиус круга, $L$ — длина дуги сектора, $P$ — периметр сектора, а $\alpha$ — искомая радианная мера центрального угла.
Периметр сектора складывается из длины дуги $L$ и двух радиусов $R$, которые его ограничивают. Формула для периметра сектора: $P = L + 2R$.
По условию, длина дуги сектора втрое меньше его периметра. Это можно записать как $P = 3L$.
Приравняем два выражения для периметра $P$:
$L + 2R = 3L$
Вычтем $L$ из обеих частей уравнения:
$2R = 2L$
Разделив обе части на 2, получаем:
$R = L$
Теперь воспользуемся формулой для длины дуги: $L = \alpha \cdot R$.
Подставим в эту формулу найденное соотношение $L = R$:
$R = \alpha \cdot R$
Так как радиус круга $R > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $R$:
$\alpha = 1$
Следовательно, радианная мера центрального угла составляет 1 радиан.
Ответ: 1.

Найдите значения выражений (21–22).

21.

а) $3 \sin \left( 2\alpha - \frac{\pi}{4} \right) + 2 \cos (3\alpha - \pi)$, если $\alpha = \frac{\pi}{4};$

б) $\sin^2 \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right) + 3 \tan \left( \frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{2} \right)$, если $\alpha = \frac{2\pi}{3};$

в) $4 \cos \left( 3\alpha - \frac{\pi}{6} \right) + \cot \left( \alpha + \frac{\pi}{12} \right)$, если $\alpha = \frac{\pi}{6};$

г) $\cos \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) \tan^2 \left( 2\alpha + \frac{\pi}{2} \right)$, если $\alpha = -\frac{\pi}{6}.$

а) Чтобы найти значение выражения $3 \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right) + 2 \cos(3\alpha - \pi)$ при $\alpha = \frac{\pi}{4}$, подставим это значение в выражение:
$3 \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) + 2 \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{4} - \pi\right)$
Упростим выражения в скобках:
$2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$
$3 \cdot \frac{\pi}{4} - \pi = \frac{3\pi}{4} - \frac{4\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$
Теперь выражение выглядит так:
$3 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2 \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
Так как косинус — чётная функция ($\cos(-x) = \cos(x)$), то $\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
Используя табличные значения $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

б) Чтобы найти значение выражения $\sin^2\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) + 3 \tg\left(\frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{2}\right)$ при $\alpha = \frac{2\pi}{3}$, подставим значение $\alpha$ в первое слагаемое и упростим второе слагаемое.
Упростим аргумент тангенса:
$\frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{2} = \frac{5\pi}{4} - \frac{6\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$
Второе слагаемое: $3 \tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)$. Так как тангенс — нечётная функция ($\tg(-x) = -\tg(x)$), то $3 \tg\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -3 \tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = -3 \cdot 1 = -3$.
Теперь рассмотрим первое слагаемое. Подставим $\alpha = \frac{2\pi}{3}$:
$\sin^2\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right)$
Используя табличное значение $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$
Сложим значения обоих слагаемых:
$\frac{3}{4} + (-3) = \frac{3}{4} - 3 = \frac{3-12}{4} = -\frac{9}{4}$.
Ответ: $-\frac{9}{4}$

в) Чтобы найти значение выражения $4 \cos\left(3\alpha - \frac{\pi}{6}\right) + \text{ctg}\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right)$ при $\alpha = \frac{\pi}{6}$, подставим это значение в выражение:
$4 \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + \text{ctg}\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12}\right)$
Упростим аргументы функций:
$3 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$
Выражение принимает вид:
$4 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$
Используя табличные значения $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$, вычисляем:
$4 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 2 + 1 = 3$.
Ответ: $3$

г) Чтобы найти значение выражения $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) \tg^2\left(2\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$ при $\alpha = -\frac{\pi}{6}$, подставим это значение в выражение:
$\cos\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) \tg^2\left(2\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{2}\right)$
Упростим аргументы функций:
$-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$
$2\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$
Выражение принимает вид:
$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \tg^2\left(\frac{\pi}{6}\right)$
Используя табличные значения $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\tg\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$

22. a) $\frac{1 + \text{tg } \alpha}{1 + \text{ctg } \alpha}$, если $\text{cos } \alpha = \frac{12}{13}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

б) $\frac{\text{sin } \alpha + \text{cos } \alpha}{\text{sin } \alpha - \text{cos } \alpha}$, если $\text{tg } \alpha = \frac{5}{4}$;

в) $\frac{\text{cos } \alpha + \text{ctg } \alpha}{\text{ctg } \alpha}$, если $\text{cos } \alpha = -\frac{1}{3}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

г) $\text{sin}^2 \alpha - \text{cos}^2 \beta$, если $\text{cos}^2 \alpha - \text{sin}^2 \beta = 0,5$.

а) Для нахождения значения выражения $\frac{1 + \text{tg} \, \alpha}{1 + \text{ctg} \, \alpha}$ сначала упростим его, используя тождество $\text{ctg} \, \alpha = \frac{1}{\text{tg} \, \alpha}$:

$\frac{1 + \text{tg} \, \alpha}{1 + \text{ctg} \, \alpha} = \frac{1 + \text{tg} \, \alpha}{1 + \frac{1}{\text{tg} \, \alpha}} = \frac{1 + \text{tg} \, \alpha}{\frac{\text{tg} \, \alpha + 1}{\text{tg} \, \alpha}} = (1 + \text{tg} \, \alpha) \cdot \frac{\text{tg} \, \alpha}{\text{tg} \, \alpha + 1} = \text{tg} \, \alpha$.

Таким образом, задача сводится к нахождению $\text{tg} \, \alpha$.

По условию $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Этот интервал соответствует IV координатной четверти, где $\sin \alpha < 0$.

Найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$.

Учитывая, что $\alpha$ находится в IV четверти, выбираем отрицательное значение для синуса:

$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.

Теперь можем найти тангенс:

$\text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12}$.

Следовательно, значение исходного выражения равно $-\frac{5}{12}$.

Ответ: $-\frac{5}{12}$

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$ при известном $\text{tg} \, \alpha = \frac{5}{4}$, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos \alpha$. Это преобразование допустимо, так как если бы $\cos \alpha = 0$, тангенс был бы не определен, что противоречит условию.

$\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\text{tg} \, \alpha + 1}{\text{tg} \, \alpha - 1}$.

Подставим данное значение $\text{tg} \, \alpha = \frac{5}{4}$ в полученное выражение:

$\frac{\frac{5}{4} + 1}{\frac{5}{4} - 1} = \frac{\frac{5+4}{4}}{\frac{5-4}{4}} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{4}} = 9$.

Ответ: $9$

в) Упростим исходное выражение $\frac{\cos \alpha + \text{ctg} \, \alpha}{\text{ctg} \, \alpha}$, разделив почленно числитель на знаменатель:

$\frac{\cos \alpha + \text{ctg} \, \alpha}{\text{ctg} \, \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\text{ctg} \, \alpha} + \frac{\text{ctg} \, \alpha}{\text{ctg} \, \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} + 1 = \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 1 = \sin \alpha + 1$.

Теперь необходимо найти $\sin \alpha$.

По условию $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Этот интервал соответствует III координатной четверти, где $\sin \alpha < 0$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, найдем $\sin \alpha$:

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

Так как $\alpha$ находится в III четверти, $\sin \alpha$ отрицателен:

$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Подставляем найденное значение в упрощенное выражение:

$1 + \sin \alpha = 1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}$

г) Требуется найти значение выражения $\sin^2 \alpha - \cos^2 \beta$ при условии, что $\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta = 0,5$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Из него мы можем выразить $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ и $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$.

Подставим эти выражения в искомую разность:

$\sin^2 \alpha - \cos^2 \beta = (1 - \cos^2 \alpha) - (1 - \sin^2 \beta) = 1 - \cos^2 \alpha - 1 + \sin^2 \beta = \sin^2 \beta - \cos^2 \alpha$.

Теперь вынесем знак минус за скобки, чтобы получить выражение из условия задачи:

$\sin^2 \beta - \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta)$.

Так как по условию $\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta = 0,5$, то значение искомого выражения будет:

$-(0,5) = -0,5$.

Ответ: $-0,5$