Номер 15, страница 13 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 15, страница 13.
№15 (с. 13)
Условие. №15 (с. 13)
скриншот условия

15. – Найдите $ \sin \frac{\alpha}{2} $, $ \cos \frac{\alpha}{2} $, $ \text{tg } \frac{\alpha}{2} $, если:
а) $ \cos \alpha = -\frac{12}{13}, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $;
б) $ \sin \alpha = \frac{3}{5}, \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;
в) $ \cos \alpha = \frac{24}{25}, \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $;
г) $ \sin \alpha = -\frac{8}{17}, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.
Решение 1. №15 (с. 13)




Решение 3. №15 (с. 13)

Решение 5. №15 (с. 13)
а) Дано: $ \cos\alpha = -\frac{12}{13} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.
Сначала определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Так как $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, то, разделив неравенство на 2, получим $ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} $. Это означает, что угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен.
Используем формулы половинного угла, учитывая знаки:
$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{12}{13})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26} $.
$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{12}{13})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{12}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26} $.
$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{5/\sqrt{26}}{-1/\sqrt{26}} = -5 $.
Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{5\sqrt{26}}{26} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{26}}{26} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = -5 $.
б) Дано: $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.
Угол $ \alpha $ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Найдем $ \cos\alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $: $ \cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} $.
Определим четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Так как $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, то $ \frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $. Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится в первой четверти. В первой четверти и синус, и косинус положительны.
$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $.
$ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{4}{5})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} $.
$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{3/\sqrt{10}}{1/\sqrt{10}} = 3 $.
Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = 3 $.
в) Дано: $ \cos\alpha = \frac{24}{25} $, $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.
Определим четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Так как $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $, то $ \frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \pi $. Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен.
$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{24}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10} $.
$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{24}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{49}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{49}{50}} = -\frac{7}{5\sqrt{2}} = -\frac{7\sqrt{2}}{10} $.
$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{\sqrt{2}/10}{-7\sqrt{2}/10} = -\frac{1}{7} $.
Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{10} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{7\sqrt{2}}{10} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{7} $.
г) Дано: $ \sin\alpha = -\frac{8}{17} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.
Угол $ \alpha $ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Найдем $ \cos\alpha $: $ \cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - (-\frac{8}{17})^2} = -\sqrt{1 - \frac{64}{289}} = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17} $.
Определим четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Так как $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, то $ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} $. Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти. Синус положителен, косинус отрицателен.
$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{15}{17})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{15}{17}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{32}{17}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17} $.
$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{15}{17})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{15}{17}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{2}{17}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{\sqrt{17}}{17} $.
$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{4/\sqrt{17}}{-1/\sqrt{17}} = -4 $.
Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{4\sqrt{17}}{17} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{17}}{17} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = -4 $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 15 расположенного на странице 13 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15 (с. 13), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.