Номер 15, страница 13 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 15, страница 13.

Условие.

15. – Найдите $ \sin \frac{\alpha}{2} $, $ \cos \frac{\alpha}{2} $, $ \text{tg } \frac{\alpha}{2} $, если:

а) $ \cos \alpha = -\frac{12}{13}, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $;

б) $ \sin \alpha = \frac{3}{5}, \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

в) $ \cos \alpha = \frac{24}{25}, \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $;

г) $ \sin \alpha = -\frac{8}{17}, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дано: $ \cos\alpha = -\frac{12}{13} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Сначала определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Так как $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, то, разделив неравенство на 2, получим $ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} $. Это означает, что угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Используем формулы половинного угла, учитывая знаки:

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{12}{13})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26} $.

$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{12}{13})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{12}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26} $.

$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{5/\sqrt{26}}{-1/\sqrt{26}} = -5 $.

Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{5\sqrt{26}}{26} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{26}}{26} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = -5 $.

б) Дано: $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Угол $ \alpha $ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Найдем $ \cos\alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $: $ \cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} $.

Определим четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Так как $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, то $ \frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $. Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится в первой четверти. В первой четверти и синус, и косинус положительны.

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $.

$ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{4}{5})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} $.

$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{3/\sqrt{10}}{1/\sqrt{10}} = 3 $.

Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = 3 $.

в) Дано: $ \cos\alpha = \frac{24}{25} $, $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

Определим четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Так как $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $, то $ \frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \pi $. Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{24}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10} $.

$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{24}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{49}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{49}{50}} = -\frac{7}{5\sqrt{2}} = -\frac{7\sqrt{2}}{10} $.

$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{\sqrt{2}/10}{-7\sqrt{2}/10} = -\frac{1}{7} $.

Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{10} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{7\sqrt{2}}{10} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{7} $.

г) Дано: $ \sin\alpha = -\frac{8}{17} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Угол $ \alpha $ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Найдем $ \cos\alpha $: $ \cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - (-\frac{8}{17})^2} = -\sqrt{1 - \frac{64}{289}} = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17} $.

Определим четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Так как $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, то $ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} $. Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти. Синус положителен, косинус отрицателен.

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{15}{17})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{15}{17}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{32}{17}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17} $.

$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{15}{17})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{15}{17}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{2}{17}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{\sqrt{17}}{17} $.

$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{4/\sqrt{17}}{-1/\sqrt{17}} = -4 $.

Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{4\sqrt{17}}{17} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{17}}{17} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = -4 $.