Номер 9, страница 12 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 9, страница 12.

Условие.

9. — Вычислите:

а) $\frac{\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} - \sin \frac{4\pi}{15} \sin \frac{\pi}{15}}{\cos 0.3\pi \sin 0.2\pi + \sin 0.3\pi \cos 0.2\pi}$;

б) $\frac{\operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}{1 + \operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}$;

в) $\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{10} + \operatorname{tg} \frac{3\pi}{20}}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} \operatorname{tg} \frac{3\pi}{20}}$;

г) $\frac{\sin \frac{5\pi}{18} \cos \frac{\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{18}}{\sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

a) Для вычисления значения выражения $\frac{\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} - \sin \frac{4\pi}{15} \sin \frac{\pi}{15}}{\cos 0.3\pi \sin 0.2\pi + \sin 0.3\pi \cos 0.2\pi}$ воспользуемся тригонометрическими формулами сложения.

Рассмотрим числитель дроби: $\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} - \sin \frac{4\pi}{15} \sin \frac{\pi}{15}$.
Это выражение соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{15}$ и $\beta = \frac{4\pi}{15}$.
Таким образом, числитель равен:
$\cos(\frac{\pi}{15} + \frac{4\pi}{15}) = \cos(\frac{5\pi}{15}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Теперь рассмотрим знаменатель дроби: $\cos 0.3\pi \sin 0.2\pi + \sin 0.3\pi \cos 0.2\pi$.
Переставив слагаемые, получим: $\sin 0.3\pi \cos 0.2\pi + \cos 0.3\pi \sin 0.2\pi$.
Это выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = 0.3\pi$ и $\beta = 0.2\pi$.
Таким образом, знаменатель равен:
$\sin(0.3\pi + 0.2\pi) = \sin(0.5\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Найдем значение всей дроби:
$\frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Для вычисления значения выражения $\frac{\operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}{1 + \operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}$ воспользуемся формулой тангенса разности.

Выражение соответствует формуле $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ и $\beta = \frac{5\pi}{12}$.
Следовательно, выражение равно $\operatorname{tg}(\frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{12})$.

Вычислим разность углов, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{12} = \frac{8\pi}{12} - \frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.

Теперь вычислим значение тангенса:
$\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Ответ: $1$.

в) Для вычисления значения выражения $\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{10} + \operatorname{tg} \frac{3\pi}{20}}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} \operatorname{tg} \frac{3\pi}{20}}$ воспользуемся формулой тангенса суммы.

Выражение соответствует формуле $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{10}$ и $\beta = \frac{3\pi}{20}$.
Следовательно, выражение равно $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{20})$.

Вычислим сумму углов, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{20} = \frac{2\pi}{20} + \frac{3\pi}{20} = \frac{5\pi}{20} = \frac{\pi}{4}$.

Теперь вычислим значение тангенса:
$\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Ответ: $1$.

г) Для вычисления значения выражения $\frac{\sin \frac{5\pi}{18} \cos \frac{\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{18}}{\sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}}$ воспользуемся тригонометрическими формулами сложения и вычитания.

Рассмотрим числитель дроби: $\sin \frac{5\pi}{18} \cos \frac{\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{18}$.
Это выражение соответствует формуле синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{5\pi}{18}$ и $\beta = \frac{\pi}{9}$.
Таким образом, числитель равен:
$\sin(\frac{5\pi}{18} - \frac{\pi}{9}) = \sin(\frac{5\pi}{18} - \frac{2\pi}{18}) = \sin(\frac{3\pi}{18}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим знаменатель дроби: $\sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}$.
Вынесем минус за скобки: $-(\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{7\pi}{12})$.
Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ и $\beta = \frac{7\pi}{12}$.
Таким образом, знаменатель равен:
$-\cos(\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12}) = -\cos(\frac{12\pi}{12}) = -\cos(\pi) = -(-1) = 1$.

Найдем значение всей дроби:
$\frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.