Номер 9, страница 12 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 9, страница 12.
№9 (с. 12)
Условие. №9 (с. 12)
скриншот условия

9. — Вычислите:
а) $\frac{\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} - \sin \frac{4\pi}{15} \sin \frac{\pi}{15}}{\cos 0.3\pi \sin 0.2\pi + \sin 0.3\pi \cos 0.2\pi}$;
б) $\frac{\operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}{1 + \operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}$;
в) $\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{10} + \operatorname{tg} \frac{3\pi}{20}}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} \operatorname{tg} \frac{3\pi}{20}}$;
г) $\frac{\sin \frac{5\pi}{18} \cos \frac{\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{18}}{\sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}}$.
Решение 1. №9 (с. 12)

Решение 3. №9 (с. 12)


Решение 5. №9 (с. 12)
a) Для вычисления значения выражения $\frac{\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} - \sin \frac{4\pi}{15} \sin \frac{\pi}{15}}{\cos 0.3\pi \sin 0.2\pi + \sin 0.3\pi \cos 0.2\pi}$ воспользуемся тригонометрическими формулами сложения.
Рассмотрим числитель дроби: $\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} - \sin \frac{4\pi}{15} \sin \frac{\pi}{15}$.
Это выражение соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{15}$ и $\beta = \frac{4\pi}{15}$.
Таким образом, числитель равен:
$\cos(\frac{\pi}{15} + \frac{4\pi}{15}) = \cos(\frac{5\pi}{15}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Теперь рассмотрим знаменатель дроби: $\cos 0.3\pi \sin 0.2\pi + \sin 0.3\pi \cos 0.2\pi$.
Переставив слагаемые, получим: $\sin 0.3\pi \cos 0.2\pi + \cos 0.3\pi \sin 0.2\pi$.
Это выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = 0.3\pi$ и $\beta = 0.2\pi$.
Таким образом, знаменатель равен:
$\sin(0.3\pi + 0.2\pi) = \sin(0.5\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Найдем значение всей дроби:
$\frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.
б) Для вычисления значения выражения $\frac{\operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}{1 + \operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}$ воспользуемся формулой тангенса разности.
Выражение соответствует формуле $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ и $\beta = \frac{5\pi}{12}$.
Следовательно, выражение равно $\operatorname{tg}(\frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{12})$.
Вычислим разность углов, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{12} = \frac{8\pi}{12} - \frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.
Теперь вычислим значение тангенса:
$\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Ответ: $1$.
в) Для вычисления значения выражения $\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{10} + \operatorname{tg} \frac{3\pi}{20}}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} \operatorname{tg} \frac{3\pi}{20}}$ воспользуемся формулой тангенса суммы.
Выражение соответствует формуле $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{10}$ и $\beta = \frac{3\pi}{20}$.
Следовательно, выражение равно $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{20})$.
Вычислим сумму углов, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{20} = \frac{2\pi}{20} + \frac{3\pi}{20} = \frac{5\pi}{20} = \frac{\pi}{4}$.
Теперь вычислим значение тангенса:
$\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Ответ: $1$.
г) Для вычисления значения выражения $\frac{\sin \frac{5\pi}{18} \cos \frac{\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{18}}{\sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}}$ воспользуемся тригонометрическими формулами сложения и вычитания.
Рассмотрим числитель дроби: $\sin \frac{5\pi}{18} \cos \frac{\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{18}$.
Это выражение соответствует формуле синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{5\pi}{18}$ и $\beta = \frac{\pi}{9}$.
Таким образом, числитель равен:
$\sin(\frac{5\pi}{18} - \frac{\pi}{9}) = \sin(\frac{5\pi}{18} - \frac{2\pi}{18}) = \sin(\frac{3\pi}{18}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Рассмотрим знаменатель дроби: $\sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}$.
Вынесем минус за скобки: $-(\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{7\pi}{12})$.
Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ и $\beta = \frac{7\pi}{12}$.
Таким образом, знаменатель равен:
$-\cos(\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12}) = -\cos(\frac{12\pi}{12}) = -\cos(\pi) = -(-1) = 1$.
Найдем значение всей дроби:
$\frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 9 расположенного на странице 12 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9 (с. 12), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.