Номер 14, страница 12 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 14, страница 12.

Условие.

14.- Верно ли равенство:

a) $ \sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

б) $ \cos \frac{11\pi}{24} - \cos \frac{\pi}{8} = -\sin \frac{7\pi}{24} $;

в) $ \sin \frac{11\pi}{18} + \sin \frac{7\pi}{18} = \cos \frac{2\pi}{9} $;

г) $ \cos \frac{5\pi}{8} + \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} \cos \frac{3\pi}{8} $?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Проверим равенство $ \sin\frac{7\pi}{12} - \sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Для преобразования левой части равенства воспользуемся формулой разности синусов:

$ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $

В данном случае $ \alpha = \frac{7\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{\pi}{12} $.

Подставим значения в формулу:

$ \sin\frac{7\pi}{12} - \sin\frac{\pi}{12} = 2\cos\frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2}\sin\frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = 2\cos\frac{\frac{8\pi}{12}}{2}\sin\frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = 2\cos\frac{2\pi}{6}\sin\frac{\pi}{4} = 2\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} $.

Зная табличные значения $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

б) Проверим равенство $ \cos\frac{11\pi}{24} - \cos\frac{\pi}{8} = -\sin\frac{7\pi}{24} $.

Для преобразования левой части воспользуемся формулой разности косинусов:

$ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $

Приведем угол $ \frac{\pi}{8} $ к знаменателю 24: $ \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{24} $.

В данном случае $ \alpha = \frac{11\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{3\pi}{24} $. Подставим значения в формулу:

$ \cos\frac{11\pi}{24} - \cos\frac{3\pi}{24} = -2\sin\frac{\frac{11\pi}{24} + \frac{3\pi}{24}}{2}\sin\frac{\frac{11\pi}{24} - \frac{3\pi}{24}}{2} = -2\sin\frac{\frac{14\pi}{24}}{2}\sin\frac{\frac{8\pi}{24}}{2} = -2\sin\frac{7\pi}{24}\sin\frac{\pi}{6} $.

Зная табличное значение $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, получаем:

$ -2\sin\frac{7\pi}{24} \cdot \frac{1}{2} = -\sin\frac{7\pi}{24} $.

Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

в) Проверим равенство $ \sin\frac{11\pi}{18} + \sin\frac{7\pi}{18} = \cos\frac{2\pi}{9} $.

Для преобразования левой части воспользуемся формулой суммы синусов:

$ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

В данном случае $ \alpha = \frac{11\pi}{18} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{18} $. Подставим значения в формулу:

$ \sin\frac{11\pi}{18} + \sin\frac{7\pi}{18} = 2\sin\frac{\frac{11\pi}{18} + \frac{7\pi}{18}}{2}\cos\frac{\frac{11\pi}{18} - \frac{7\pi}{18}}{2} = 2\sin\frac{\frac{18\pi}{18}}{2}\cos\frac{\frac{4\pi}{18}}{2} = 2\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{9} $.

Зная табличное значение $ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $, получаем:

$ 2 \cdot 1 \cdot \cos\frac{\pi}{9} = 2\cos\frac{\pi}{9} $.

Теперь необходимо проверить равенство $ 2\cos\frac{\pi}{9} = \cos\frac{2\pi}{9} $. Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 2\cos^2x - 1 $.

Получаем $ 2\cos\frac{\pi}{9} = 2\cos^2\frac{\pi}{9} - 1 $. Угол $ \frac{\pi}{9} = 20^\circ $, он находится в первой четверти, значит $ \cos\frac{\pi}{9} > 0 $. Так как $ 0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{2} $, то $ \cos\frac{\pi}{9} < 1 $. Очевидно, что $ 2\cos\frac{\pi}{9} > \cos\frac{\pi}{9} \cdot \cos\frac{\pi}{9} \cdot 2 = 2\cos^2\frac{\pi}{9} $. А $ 2\cos^2\frac{\pi}{9}-1 $ еще меньше. Таким образом, $ 2\cos\frac{\pi}{9} \ne \cos\frac{2\pi}{9} $.

Следовательно, исходное равенство неверно.

Ответ: нет, равенство неверно.

г) Проверим равенство $ \cos\frac{5\pi}{8} + \cos\frac{\pi}{8} = \sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{8} $.

Для преобразования левой части воспользуемся формулой суммы косинусов:

$ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

В данном случае $ \alpha = \frac{5\pi}{8} $ и $ \beta = \frac{\pi}{8} $. Подставим значения в формулу:

$ \cos\frac{5\pi}{8} + \cos\frac{\pi}{8} = 2\cos\frac{\frac{5\pi}{8} + \frac{\pi}{8}}{2}\cos\frac{\frac{5\pi}{8} - \frac{\pi}{8}}{2} = 2\cos\frac{\frac{6\pi}{8}}{2}\cos\frac{\frac{4\pi}{8}}{2} = 2\cos\frac{3\pi}{8}\cos\frac{\pi}{4} $.

Зная табличное значение $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ 2\cos\frac{3\pi}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{8} $.

Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.