Номер 13, страница 12 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 13, страница 12.

Условие.

13. Найдите числовое значение выражения:

а) $8 \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{2\pi}{3} \operatorname{tg} \frac{4\pi}{3} \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4}$;

б) $10 \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} \sin \frac{5\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4}$;

в) $\frac{\sin^2(\pi-t)}{1+\sin\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)} - \cos(2\pi-t)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для вычисления значения выражения $8 \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{2\pi}{3} \operatorname{tg} \frac{4\pi}{3} \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4}$ найдем значения каждой тригонометрической функции по отдельности.
Значение $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
Используя формулы приведения, находим $\cos \frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.
Аналогично, $\operatorname{tg} \frac{4\pi}{3} = \operatorname{tg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
И $\operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} = \operatorname{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -1$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$8 \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{2\pi}{3} \operatorname{tg} \frac{4\pi}{3} \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \sqrt{3} \cdot (-1) = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

б) Для вычисления значения выражения $10 \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} \sin \frac{5\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4}$ найдем значения входящих в него тригонометрических функций.
Используем формулы приведения:
$\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = \operatorname{ctg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -1$.
$\sin \frac{5\pi}{4} = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\cos \frac{7\pi}{4} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставим эти значения в выражение:
$10 \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} \sin \frac{5\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4} = 10 \cdot (-1) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = -10 \cdot (-\frac{2}{4}) = -10 \cdot (-\frac{1}{2}) = 5$.
Ответ: $5$.

в) Упростим выражение $\frac{\sin^2(\pi-t)}{1+\sin(\frac{3\pi}{2}+t)} - \cos(2\pi-t)$, используя формулы приведения.
Преобразуем каждую часть выражения:
В числителе: $\sin(\pi-t) = \sin t$, следовательно, $\sin^2(\pi-t) = \sin^2 t$.
В знаменателе: $\sin(\frac{3\pi}{2}+t) = -\cos t$.
Свободный член: $\cos(2\pi-t) = \cos t$.
Подставим преобразованные части обратно в выражение:
$\frac{\sin^2 t}{1 - \cos t} - \cos t$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$:
$\frac{1 - \cos^2 t}{1 - \cos t} - \cos t$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(1 - \cos t)(1 + \cos t)}{1 - \cos t} - \cos t$.
Сократим дробь на $(1 - \cos t)$, при условии, что $1 - \cos t \neq 0$ (т.е. $t \neq 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$):
$(1 + \cos t) - \cos t = 1 + \cos t - \cos t = 1$.
Таким образом, числовое значение выражения равно 1.
Ответ: $1$.