Страница 12 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

9. — Вычислите:

а) $\frac{\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} - \sin \frac{4\pi}{15} \sin \frac{\pi}{15}}{\cos 0.3\pi \sin 0.2\pi + \sin 0.3\pi \cos 0.2\pi}$;

б) $\frac{\operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}{1 + \operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}$;

в) $\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{10} + \operatorname{tg} \frac{3\pi}{20}}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} \operatorname{tg} \frac{3\pi}{20}}$;

г) $\frac{\sin \frac{5\pi}{18} \cos \frac{\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{18}}{\sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}}$.

a) Для вычисления значения выражения $\frac{\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} - \sin \frac{4\pi}{15} \sin \frac{\pi}{15}}{\cos 0.3\pi \sin 0.2\pi + \sin 0.3\pi \cos 0.2\pi}$ воспользуемся тригонометрическими формулами сложения.

Рассмотрим числитель дроби: $\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} - \sin \frac{4\pi}{15} \sin \frac{\pi}{15}$.
Это выражение соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{15}$ и $\beta = \frac{4\pi}{15}$.
Таким образом, числитель равен:
$\cos(\frac{\pi}{15} + \frac{4\pi}{15}) = \cos(\frac{5\pi}{15}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Теперь рассмотрим знаменатель дроби: $\cos 0.3\pi \sin 0.2\pi + \sin 0.3\pi \cos 0.2\pi$.
Переставив слагаемые, получим: $\sin 0.3\pi \cos 0.2\pi + \cos 0.3\pi \sin 0.2\pi$.
Это выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = 0.3\pi$ и $\beta = 0.2\pi$.
Таким образом, знаменатель равен:
$\sin(0.3\pi + 0.2\pi) = \sin(0.5\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Найдем значение всей дроби:
$\frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Для вычисления значения выражения $\frac{\operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}{1 + \operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}$ воспользуемся формулой тангенса разности.

Выражение соответствует формуле $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ и $\beta = \frac{5\pi}{12}$.
Следовательно, выражение равно $\operatorname{tg}(\frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{12})$.

Вычислим разность углов, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{12} = \frac{8\pi}{12} - \frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.

Теперь вычислим значение тангенса:
$\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Ответ: $1$.

в) Для вычисления значения выражения $\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{10} + \operatorname{tg} \frac{3\pi}{20}}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} \operatorname{tg} \frac{3\pi}{20}}$ воспользуемся формулой тангенса суммы.

Выражение соответствует формуле $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{10}$ и $\beta = \frac{3\pi}{20}$.
Следовательно, выражение равно $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{20})$.

Вычислим сумму углов, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{20} = \frac{2\pi}{20} + \frac{3\pi}{20} = \frac{5\pi}{20} = \frac{\pi}{4}$.

Теперь вычислим значение тангенса:
$\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Ответ: $1$.

г) Для вычисления значения выражения $\frac{\sin \frac{5\pi}{18} \cos \frac{\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{18}}{\sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}}$ воспользуемся тригонометрическими формулами сложения и вычитания.

Рассмотрим числитель дроби: $\sin \frac{5\pi}{18} \cos \frac{\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{18}$.
Это выражение соответствует формуле синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{5\pi}{18}$ и $\beta = \frac{\pi}{9}$.
Таким образом, числитель равен:
$\sin(\frac{5\pi}{18} - \frac{\pi}{9}) = \sin(\frac{5\pi}{18} - \frac{2\pi}{18}) = \sin(\frac{3\pi}{18}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим знаменатель дроби: $\sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}$.
Вынесем минус за скобки: $-(\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{7\pi}{12})$.
Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ и $\beta = \frac{7\pi}{12}$.
Таким образом, знаменатель равен:
$-\cos(\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12}) = -\cos(\frac{12\pi}{12}) = -\cos(\pi) = -(-1) = 1$.

Найдем значение всей дроби:
$\frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

10. Вычислите $ \sin 2\alpha $, $ \cos 2\beta $, $ \sin (\alpha - \beta) $ и $ \cos (\alpha + \beta) $, если:

a) $ \sin \alpha = \frac{4}{5} $, $ \cos \beta = -\frac{5}{13} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $;

б) $ \cos \alpha = 0,6 $, $ \sin \beta = -\frac{8}{17} $, $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $, $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $.

а)

Дано: $sin \alpha = \frac{4}{5}$, $cos \beta = -\frac{5}{13}$. Угол $\alpha$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $), а угол $\beta$ также находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $).

Для вычислений нам понадобятся значения $cos \alpha$ и $sin \beta$.

1. Найдем $cos \alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
$cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.
Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти, его косинус отрицателен. Следовательно, $cos \alpha = -\frac{3}{5}$.

2. Найдем $sin \beta$. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.
$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$.
$sin \beta = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Так как угол $\beta$ находится во второй четверти, его синус положителен. Следовательно, $sin \beta = \frac{12}{13}$.

Теперь вычислим требуемые значения.

Вычисление $sin 2\alpha$:
Используем формулу синуса двойного угла: $sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$.
$sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{24}{25}$.

Вычисление $cos 2\beta$:
Используем формулу косинуса двойного угла: $cos 2\beta = cos^2\beta - sin^2\beta$.
$cos 2\beta = (-\frac{5}{13})^2 - (\frac{12}{13})^2 = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = -\frac{119}{169}$.

Вычисление $sin (\alpha - \beta)$:
Используем формулу синуса разности: $sin (\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta$.
$sin (\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) - (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{12}{13} = -\frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{16}{65}$.

Вычисление $cos (\alpha + \beta)$:
Используем формулу косинуса суммы: $cos (\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$.
$cos (\alpha + \beta) = (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{5}{13}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{15}{65} - \frac{48}{65} = -\frac{33}{65}$.

Ответ: $sin 2\alpha = -\frac{24}{25}$, $cos 2\beta = -\frac{119}{169}$, $sin (\alpha - \beta) = \frac{16}{65}$, $cos (\alpha + \beta) = -\frac{33}{65}$.

б)

Дано: $cos \alpha = 0,6 = \frac{3}{5}$, $sin \beta = -\frac{8}{17}$. Угол $\alpha$ находится в четвертой четверти ($ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $), а угол $\beta$ находится в третьей четверти ($ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $).

Для вычислений нам понадобятся значения $sin \alpha$ и $cos \beta$.

1. Найдем $sin \alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.
Так как угол $\alpha$ находится в четвертой четверти, его синус отрицателен. Следовательно, $sin \alpha = -\frac{4}{5}$.

2. Найдем $cos \beta$. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.
$cos^2\beta = 1 - sin^2\beta = 1 - (-\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}$.
$cos \beta = \pm\sqrt{\frac{225}{289}} = \pm\frac{15}{17}$.
Так как угол $\beta$ находится в третьей четверти, его косинус отрицателен. Следовательно, $cos \beta = -\frac{15}{17}$.

Теперь вычислим требуемые значения.

Вычисление $sin 2\alpha$:
Используем формулу синуса двойного угла: $sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$.
$sin 2\alpha = 2 \cdot (-\frac{4}{5}) \cdot \frac{3}{5} = -\frac{24}{25}$.

Вычисление $cos 2\beta$:
Используем формулу косинуса двойного угла: $cos 2\beta = cos^2\beta - sin^2\beta$.
$cos 2\beta = (-\frac{15}{17})^2 - (-\frac{8}{17})^2 = \frac{225}{289} - \frac{64}{289} = \frac{161}{289}$.

Вычисление $sin (\alpha - \beta)$:
Используем формулу синуса разности: $sin (\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta$.
$sin (\alpha - \beta) = (-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{15}{17}) - \frac{3}{5} \cdot (-\frac{8}{17}) = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85}$.

Вычисление $cos (\alpha + \beta)$:
Используем формулу косинуса суммы: $cos (\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$.
$cos (\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{15}{17}) - (-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{8}{17}) = -\frac{45}{85} - \frac{32}{85} = -\frac{77}{85}$.

Ответ: $sin 2\alpha = -\frac{24}{25}$, $cos 2\beta = \frac{161}{289}$, $sin (\alpha - \beta) = \frac{84}{85}$, $cos (\alpha + \beta) = -\frac{77}{85}$.

11. Упростите выражение:

a) $ \frac{2 \sin \alpha \cos \beta - \sin (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta} $

б) $ \frac{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha} $

в) $ \frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{2 \sin \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sqrt{2} \sin \alpha} $

г) $ \operatorname{ctg}^2 \alpha (1 - \cos 2\alpha) + \cos^2 \alpha $

а) Для упрощения выражения $ \frac{2 \sin \alpha \cos \beta - \sin (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta} $ воспользуемся тригонометрическими формулами.
Рассмотрим числитель: $2 \sin \alpha \cos \beta - \sin (\alpha - \beta)$.
Применим формулу произведения синуса на косинус: $2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
Тогда числитель примет вид: $(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) - \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha + \beta)$.
Рассмотрим знаменатель: $\cos (\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta$.
Применим формулу произведения синусов: $2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.
Тогда знаменатель примет вид: $\cos(\alpha - \beta) - (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha + \beta)$.
В результате дробь упрощается до:
$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \tan(\alpha + \beta)$.
Ответ: $\tan(\alpha + \beta)$

б) Для упрощения выражения $ \frac{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha} $ используем формулы двойного угла.
Преобразуем числитель: $1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha$.
Сгруппируем слагаемые и применим формулу $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$.
$(1 + \cos 2\alpha) - \cos \alpha = 2\cos^2 \alpha - \cos \alpha = \cos \alpha(2\cos \alpha - 1)$.
Преобразуем знаменатель: $\sin 2\alpha - \sin \alpha$.
Применим формулу $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$.
$2\sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha = \sin \alpha(2\cos \alpha - 1)$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{\cos \alpha(2\cos \alpha - 1)}{\sin \alpha(2\cos \alpha - 1)}$.
Сократив общий множитель $(2\cos \alpha - 1)$, получим:
$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha$.
Ответ: $\cot \alpha$

в) Для упрощения выражения $ \frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{2 \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \sqrt{2} \sin \alpha} $ используем формулы сложения аргументов.
Формула косинуса суммы: $\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha)$.
Формула синуса суммы: $\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha)$.
Преобразуем числитель:
$\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) = \sqrt{2} \cos \alpha - \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha$.
Преобразуем знаменатель:
$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) - \sqrt{2} \sin \alpha = \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha$.
Разделим полученный числитель на знаменатель:
$\frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan \alpha$.
Ответ: $\tan \alpha$

г) Упростим выражение $\cot^2 \alpha (1 - \cos 2\alpha) + \cos^2 \alpha$.
Используем формулу понижения степени, выраженную через косинус двойного угла: $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$\cot^2 \alpha \cdot (2\sin^2 \alpha) + \cos^2 \alpha$.
Заменим $\cot^2 \alpha$ на отношение $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$:
$\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot 2\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$.
Сократим $\sin^2 \alpha$ в первом слагаемом (при условии $\sin \alpha \neq 0$):
$2\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 3\cos^2 \alpha$.
Ответ: $3\cos^2 \alpha$

12. Преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы аргумент соответствующей тригонометрической функции принадлежал промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$:

a) $ \sin \frac{7\pi}{8}, \cos (-\frac{5\pi}{3}), \operatorname{tg} 0,6\pi, \operatorname{ctg} (-1,2\pi); $

б) $ \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5}, \sin (-\frac{5\pi}{9}), \cos 1,8\pi, \operatorname{ctg} 0,9\pi. $

a)

• Для $ \sin\frac{7\pi}{8} $: Аргумент $\frac{7\pi}{8}$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{8} < \pi $), где синус положителен. Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:
$ \sin\frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin\frac{\pi}{8} $.
Аргумент $\frac{\pi}{8}$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ \sin\frac{\pi}{8} $.

• Для $ \cos(-\frac{5\pi}{3}) $: Косинус является четной функцией, поэтому $\cos(-x) = \cos x$.
$ \cos(-\frac{5\pi}{3}) = \cos(\frac{5\pi}{3}) $.
Аргумент $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой четверти ($ \frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi $), где косинус положителен. Используя формулу приведения $\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha$, получаем:
$ \cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} $.
Аргумент $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ \cos\frac{\pi}{3} $.

• Для $ \text{tg } 0,6\pi $: Аргумент $0,6\pi$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < 0,6\pi < \pi $), где тангенс отрицателен. Используя формулу приведения $\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg } \alpha$, получаем:
$ \text{tg } 0,6\pi = \text{tg}(\pi - 0,4\pi) = -\text{tg } 0,4\pi $.
Аргумент $0,4\pi$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ -\text{tg } 0,4\pi $.

• Для $ \text{ctg } (-1,2\pi) $: Котангенс является нечетной функцией, поэтому $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg } x$.
$ \text{ctg } (-1,2\pi) = -\text{ctg } (1,2\pi) $.
Аргумент $1,2\pi$ находится в третьей четверти ($ \pi < 1,2\pi < \frac{3\pi}{2} $), где котангенс положителен. Используя формулу приведения $\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg } \alpha$, получаем:
$ -\text{ctg } (1,2\pi) = -\text{ctg}(\pi + 0,2\pi) = -\text{ctg } 0,2\pi $.
Аргумент $0,2\pi$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ -\text{ctg } 0,2\pi $.

б)

• Для $ \text{tg}\frac{6\pi}{5} $: Аргумент $\frac{6\pi}{5}$ находится в третьей четверти ($ \pi < \frac{6\pi}{5} < \frac{3\pi}{2} $), где тангенс положителен. Используя формулу приведения $\text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg } \alpha$, получаем:
$ \text{tg}\frac{6\pi}{5} = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{5}) = \text{tg}\frac{\pi}{5} $.
Аргумент $\frac{\pi}{5}$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ \text{tg}\frac{\pi}{5} $.

• Для $ \sin(-\frac{5\pi}{9}) $: Синус является нечетной функцией, поэтому $\sin(-x) = -\sin x$.
$ \sin(-\frac{5\pi}{9}) = -\sin(\frac{5\pi}{9}) $.
Аргумент $\frac{5\pi}{9}$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \pi $). Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$, получаем:
$ -\sin(\frac{5\pi}{9}) = -\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{18}) = -\cos\frac{\pi}{18} $.
Аргумент $\frac{\pi}{18}$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ -\cos\frac{\pi}{18} $.

• Для $ \cos 1,8\pi $: Аргумент $1,8\pi$ находится в четвертой четверти ($ \frac{3\pi}{2} < 1,8\pi < 2\pi $), где косинус положителен. Используя формулу приведения $\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha$, получаем:
$ \cos 1,8\pi = \cos(2\pi - 0,2\pi) = \cos 0,2\pi $.
Аргумент $0,2\pi$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ \cos 0,2\pi $.

• Для $ \text{ctg } 0,9\pi $: Аргумент $0,9\pi$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < 0,9\pi < \pi $), где котангенс отрицателен. Используя формулу приведения $\text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg } \alpha$, получаем:
$ \text{ctg } 0,9\pi = \text{ctg}(\pi - 0,1\pi) = -\text{ctg } 0,1\pi $.
Аргумент $0,1\pi$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ -\text{ctg } 0,1\pi $.

13. Найдите числовое значение выражения:

а) $8 \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{2\pi}{3} \operatorname{tg} \frac{4\pi}{3} \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4}$;

б) $10 \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} \sin \frac{5\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4}$;

в) $\frac{\sin^2(\pi-t)}{1+\sin\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)} - \cos(2\pi-t)$.

а) Для вычисления значения выражения $8 \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{2\pi}{3} \operatorname{tg} \frac{4\pi}{3} \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4}$ найдем значения каждой тригонометрической функции по отдельности.
Значение $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
Используя формулы приведения, находим $\cos \frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.
Аналогично, $\operatorname{tg} \frac{4\pi}{3} = \operatorname{tg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
И $\operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} = \operatorname{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -1$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$8 \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{2\pi}{3} \operatorname{tg} \frac{4\pi}{3} \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \sqrt{3} \cdot (-1) = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

б) Для вычисления значения выражения $10 \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} \sin \frac{5\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4}$ найдем значения входящих в него тригонометрических функций.
Используем формулы приведения:
$\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = \operatorname{ctg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -1$.
$\sin \frac{5\pi}{4} = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\cos \frac{7\pi}{4} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставим эти значения в выражение:
$10 \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} \sin \frac{5\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4} = 10 \cdot (-1) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = -10 \cdot (-\frac{2}{4}) = -10 \cdot (-\frac{1}{2}) = 5$.
Ответ: $5$.

в) Упростим выражение $\frac{\sin^2(\pi-t)}{1+\sin(\frac{3\pi}{2}+t)} - \cos(2\pi-t)$, используя формулы приведения.
Преобразуем каждую часть выражения:
В числителе: $\sin(\pi-t) = \sin t$, следовательно, $\sin^2(\pi-t) = \sin^2 t$.
В знаменателе: $\sin(\frac{3\pi}{2}+t) = -\cos t$.
Свободный член: $\cos(2\pi-t) = \cos t$.
Подставим преобразованные части обратно в выражение:
$\frac{\sin^2 t}{1 - \cos t} - \cos t$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$:
$\frac{1 - \cos^2 t}{1 - \cos t} - \cos t$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(1 - \cos t)(1 + \cos t)}{1 - \cos t} - \cos t$.
Сократим дробь на $(1 - \cos t)$, при условии, что $1 - \cos t \neq 0$ (т.е. $t \neq 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$):
$(1 + \cos t) - \cos t = 1 + \cos t - \cos t = 1$.
Таким образом, числовое значение выражения равно 1.
Ответ: $1$.

14.- Верно ли равенство:

a) $ \sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

б) $ \cos \frac{11\pi}{24} - \cos \frac{\pi}{8} = -\sin \frac{7\pi}{24} $;

в) $ \sin \frac{11\pi}{18} + \sin \frac{7\pi}{18} = \cos \frac{2\pi}{9} $;

г) $ \cos \frac{5\pi}{8} + \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} \cos \frac{3\pi}{8} $?

а) Проверим равенство $ \sin\frac{7\pi}{12} - \sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Для преобразования левой части равенства воспользуемся формулой разности синусов:

$ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $

В данном случае $ \alpha = \frac{7\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{\pi}{12} $.

Подставим значения в формулу:

$ \sin\frac{7\pi}{12} - \sin\frac{\pi}{12} = 2\cos\frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2}\sin\frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = 2\cos\frac{\frac{8\pi}{12}}{2}\sin\frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = 2\cos\frac{2\pi}{6}\sin\frac{\pi}{4} = 2\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} $.

Зная табличные значения $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

б) Проверим равенство $ \cos\frac{11\pi}{24} - \cos\frac{\pi}{8} = -\sin\frac{7\pi}{24} $.

Для преобразования левой части воспользуемся формулой разности косинусов:

$ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $

Приведем угол $ \frac{\pi}{8} $ к знаменателю 24: $ \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{24} $.

В данном случае $ \alpha = \frac{11\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{3\pi}{24} $. Подставим значения в формулу:

$ \cos\frac{11\pi}{24} - \cos\frac{3\pi}{24} = -2\sin\frac{\frac{11\pi}{24} + \frac{3\pi}{24}}{2}\sin\frac{\frac{11\pi}{24} - \frac{3\pi}{24}}{2} = -2\sin\frac{\frac{14\pi}{24}}{2}\sin\frac{\frac{8\pi}{24}}{2} = -2\sin\frac{7\pi}{24}\sin\frac{\pi}{6} $.

Зная табличное значение $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, получаем:

$ -2\sin\frac{7\pi}{24} \cdot \frac{1}{2} = -\sin\frac{7\pi}{24} $.

Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

в) Проверим равенство $ \sin\frac{11\pi}{18} + \sin\frac{7\pi}{18} = \cos\frac{2\pi}{9} $.

Для преобразования левой части воспользуемся формулой суммы синусов:

$ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

В данном случае $ \alpha = \frac{11\pi}{18} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{18} $. Подставим значения в формулу:

$ \sin\frac{11\pi}{18} + \sin\frac{7\pi}{18} = 2\sin\frac{\frac{11\pi}{18} + \frac{7\pi}{18}}{2}\cos\frac{\frac{11\pi}{18} - \frac{7\pi}{18}}{2} = 2\sin\frac{\frac{18\pi}{18}}{2}\cos\frac{\frac{4\pi}{18}}{2} = 2\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{9} $.

Зная табличное значение $ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $, получаем:

$ 2 \cdot 1 \cdot \cos\frac{\pi}{9} = 2\cos\frac{\pi}{9} $.

Теперь необходимо проверить равенство $ 2\cos\frac{\pi}{9} = \cos\frac{2\pi}{9} $. Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 2\cos^2x - 1 $.

Получаем $ 2\cos\frac{\pi}{9} = 2\cos^2\frac{\pi}{9} - 1 $. Угол $ \frac{\pi}{9} = 20^\circ $, он находится в первой четверти, значит $ \cos\frac{\pi}{9} > 0 $. Так как $ 0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{2} $, то $ \cos\frac{\pi}{9} < 1 $. Очевидно, что $ 2\cos\frac{\pi}{9} > \cos\frac{\pi}{9} \cdot \cos\frac{\pi}{9} \cdot 2 = 2\cos^2\frac{\pi}{9} $. А $ 2\cos^2\frac{\pi}{9}-1 $ еще меньше. Таким образом, $ 2\cos\frac{\pi}{9} \ne \cos\frac{2\pi}{9} $.

Следовательно, исходное равенство неверно.

Ответ: нет, равенство неверно.

г) Проверим равенство $ \cos\frac{5\pi}{8} + \cos\frac{\pi}{8} = \sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{8} $.

Для преобразования левой части воспользуемся формулой суммы косинусов:

$ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

В данном случае $ \alpha = \frac{5\pi}{8} $ и $ \beta = \frac{\pi}{8} $. Подставим значения в формулу:

$ \cos\frac{5\pi}{8} + \cos\frac{\pi}{8} = 2\cos\frac{\frac{5\pi}{8} + \frac{\pi}{8}}{2}\cos\frac{\frac{5\pi}{8} - \frac{\pi}{8}}{2} = 2\cos\frac{\frac{6\pi}{8}}{2}\cos\frac{\frac{4\pi}{8}}{2} = 2\cos\frac{3\pi}{8}\cos\frac{\pi}{4} $.

Зная табличное значение $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ 2\cos\frac{3\pi}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{8} $.

Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.