Страница 14 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

23.— Докажите, что при $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ справедливо равенство:

a) $\sin \alpha \sqrt{1+\operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1+\operatorname{tg}^{-2} \alpha}}$;

б) $\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}} - \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} = 2 \operatorname{ctg} \alpha$;

в) $\frac{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sqrt{1-\cos^2 \alpha}}$;

г) $\sqrt{\sin^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha}}$.

а)

Докажем тождество, преобразуя его левую и правую части по отдельности. По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, следовательно, все тригонометрические функции угла $\alpha$ положительны: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tg \alpha > 0$.

Преобразуем левую часть:

$\sin \alpha \sqrt{1 + \tg^2 \alpha} = \sin \alpha \sqrt{\frac{1}{\cos^2 \alpha}}$

Так как $\cos \alpha > 0$, то $\sqrt{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \frac{1}{\cos \alpha}$.

$\sin \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tg \alpha$.

Преобразуем правую часть. Учтем, что $\tg^{-2} \alpha = \frac{1}{\tg^2 \alpha} = \ctg^2 \alpha$.

$\frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1 + \tg^{-2} \alpha}} = \frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1 + \ctg^2 \alpha}} = \frac{1}{\cos \alpha \sqrt{\frac{1}{\sin^2 \alpha}}}$

Так как $\sin \alpha > 0$, то $\sqrt{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} = \frac{1}{\sin \alpha}$.

$\frac{1}{\cos \alpha \cdot \frac{1}{\sin \alpha}} = \frac{1}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tg \alpha$.

Левая и правая части равны $\tg \alpha$, следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Преобразуем левую часть равенства. По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, следовательно, $\sin \alpha > 0$.

$\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}} - \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} = \frac{\sqrt{1 + \cos \alpha}}{\sqrt{1 - \cos \alpha}} - \frac{\sqrt{1 - \cos \alpha}}{\sqrt{1 + \cos \alpha}}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)} = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{\sin^2 \alpha}$.

Так как $\sin \alpha > 0$, то $\sqrt{\sin^2 \alpha} = \sin \alpha$.

$\frac{(\sqrt{1 + \cos \alpha})^2 - (\sqrt{1 - \cos \alpha})^2}{\sqrt{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}} = \frac{(1 + \cos \alpha) - (1 - \cos \alpha)}{\sin \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha - 1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2 \cos \alpha}{\sin \alpha}$

Используя определение котангенса $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, получаем:

$\frac{2 \cos \alpha}{\sin \alpha} = 2 \ctg \alpha$.

Левая часть равна правой, следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.

в)

Преобразуем левую и правую части. По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, поэтому $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$.

Левая часть:

$\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} = \frac{\sqrt{\cos^2 \alpha}}{\sin \alpha} = \frac{|\cos \alpha|}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \ctg \alpha$.

Правая часть:

$\frac{\cos \alpha}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}} = \frac{\cos \alpha}{\sqrt{\sin^2 \alpha}} = \frac{\cos \alpha}{|\sin \alpha|} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \ctg \alpha$.

Так как левая и правая части равны $\ctg \alpha$, равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.

г)

Преобразуем обе части равенства. По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, все тригонометрические функции угла $\alpha$ положительны.

Левая часть:

$\sqrt{\sin^2 \alpha + \tg^2 \alpha \sin^2 \alpha} = \sqrt{\sin^2 \alpha (1 + \tg^2 \alpha)}$

Используя тождество $1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, получаем:

$\sqrt{\sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \sqrt{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \sqrt{\tg^2 \alpha} = |\tg \alpha| = \tg \alpha$.

Правая часть:

$\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \ctg^2 \alpha \cos^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha (1 + \ctg^2 \alpha)}}$

Используя тождество $1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, получаем:

$\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}} = \frac{1}{\sqrt{\ctg^2 \alpha}} = \frac{1}{|\ctg \alpha|} = \frac{1}{\ctg \alpha} = \tg \alpha$.

Левая и правая части равны $\tg \alpha$, следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.

Докажите тождества (24–26).

24.—

a) $ \sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) $;

б) $ \frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)}+\frac{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)}=2 $.

а)

Для доказательства тождества $ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) $ воспользуемся одной из формул приведения: $ \sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x) $.

Преобразуем левую часть равенства, приняв $ x = \frac{\pi}{4} + \alpha $:

$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right) $

Раскроем скобки в аргументе косинуса и упростим выражение:

$ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $

В результате преобразования левая часть стала равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем тождество $ \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg(\alpha + \beta)} + \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{\tg(\alpha - \beta)} = 2 $. Для этого преобразуем левую часть, используя формулы тангенса суммы и разности углов:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta} $

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta} $

Подставим эти выражения в знаменатели дробей в левой части тождества.

Преобразуем первое слагаемое:

$ \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg(\alpha + \beta)} = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta}} = (\tg\alpha + \tg\beta) \cdot \frac{1 - \tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha + \tg\beta} $

При условии, что выражение определено ($ \tg(\alpha + \beta) \neq 0 $, а значит и $ \tg\alpha + \tg\beta \neq 0 $), можно сократить дробь на $ (\tg\alpha + \tg\beta) $. Получаем:

$ 1 - \tg\alpha \tg\beta $

Преобразуем второе слагаемое аналогичным образом:

$ \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{\tg(\alpha - \beta)} = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{\frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta}} = (\tg\alpha - \tg\beta) \cdot \frac{1 + \tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha - \tg\beta} $

При условии, что $ \tg(\alpha - \beta) \neq 0 $ (и, соответственно, $ \tg\alpha - \tg\beta \neq 0 $), сокращаем на $ (\tg\alpha - \tg\beta) $. Получаем:

$ 1 + \tg\alpha \tg\beta $

Теперь сложим полученные результаты:

$ (1 - \tg\alpha \tg\beta) + (1 + \tg\alpha \tg\beta) = 1 - \tg\alpha \tg\beta + 1 + \tg\alpha \tg\beta = 2 $

Левая часть тождества равна 2, что соответствует правой части.

Ответ: Тождество доказано.

25.—

a) $(\sin^2 t + 2 \sin t \cos t - \cos^2 t)^2 = 1 - \sin 4t;$

б) $\frac{\cos \alpha - 2 \sin 3\alpha - \cos 5\alpha}{\sin 5\alpha - 2 \cos 3\alpha - \sin \alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha;$

в) $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{\cos^2 t - \sin^2 t} = \cos 2t;$

г) $\frac{\sin \alpha + 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha.$

а)

Докажем тождество $(\sin^2 t + 2 \sin t \cos t - \cos^2 t)^2 = 1 - \sin 4t$.

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы выделить известные тригонометрические формулы:

$(\sin^2 t + 2 \sin t \cos t - \cos^2 t)^2 = ((2 \sin t \cos t) - (\cos^2 t - \sin^2 t))^2$.

Применим формулы двойного угла: $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ и $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Подставив эти формулы в выражение, получим:

$(\sin 2t - \cos 2t)^2$.

Теперь раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$\sin^2 2t - 2 \sin 2t \cos 2t + \cos^2 2t$.

Сгруппируем первое и третье слагаемые: $(\sin^2 2t + \cos^2 2t) - 2 \sin 2t \cos 2t$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ (для $x=2t$) и снова формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ (для $x=2t$):

$1 - \sin(2 \cdot 2t) = 1 - \sin 4t$.

Мы преобразовали левую часть тождества к виду правой части. Тождество доказано.

Ответ: $(\sin^2 t + 2 \sin t \cos t - \cos^2 t)^2 = 1 - \sin 4t$.

б)

Докажем тождество $\frac{\cos \alpha - 2 \sin 3\alpha - \cos 5\alpha}{\sin 5\alpha - 2 \cos 3\alpha - \sin \alpha} = \tan 3\alpha$.

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $\cos \alpha - 2 \sin 3\alpha - \cos 5\alpha = (\cos \alpha - \cos 5\alpha) - 2 \sin 3\alpha$.

Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$:

$-2 \sin \frac{\alpha+5\alpha}{2} \sin \frac{\alpha-5\alpha}{2} - 2 \sin 3\alpha = -2 \sin 3\alpha \sin(-2\alpha) - 2 \sin 3\alpha$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$2 \sin 3\alpha \sin 2\alpha - 2 \sin 3\alpha = 2 \sin 3\alpha (\sin 2\alpha - 1)$.

Знаменатель: $\sin 5\alpha - 2 \cos 3\alpha - \sin \alpha = (\sin 5\alpha - \sin \alpha) - 2 \cos 3\alpha$.

Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$:

$2 \cos \frac{5\alpha+\alpha}{2} \sin \frac{5\alpha-\alpha}{2} - 2 \cos 3\alpha = 2 \cos 3\alpha \sin 2\alpha - 2 \cos 3\alpha$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$2 \cos 3\alpha (\sin 2\alpha - 1)$.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{2 \sin 3\alpha (\sin 2\alpha - 1)}{2 \cos 3\alpha (\sin 2\alpha - 1)}$.

Сократим общий множитель $2(\sin 2\alpha - 1)$ (при условии, что он не равен нулю, т.е. $\sin 2\alpha \neq 1$):

$\frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} = \tan 3\alpha$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\frac{\cos \alpha - 2 \sin 3\alpha - \cos 5\alpha}{\sin 5\alpha - 2 \cos 3\alpha - \sin \alpha} = \tan 3\alpha$.

в)

Докажем тождество $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{\cos^2 t - \sin^2 t} = \cos 2t$.

Преобразуем левую часть тождества.

Рассмотрим числитель: $1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t$. Его можно представить как разность квадратов: $1 - (2 \sin t \cos t)^2$.

Применяя формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$, получаем:

$1 - (\sin 2t)^2 = 1 - \sin^2 2t$.

По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$, числитель равен $\cos^2 2t$.

Рассмотрим знаменатель: $\cos^2 t - \sin^2 t$. Это одна из формул косинуса двойного угла:

$\cos^2 t - \sin^2 t = \cos 2t$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{\cos^2 2t}{\cos 2t}$.

При условии, что $\cos 2t \neq 0$, сокращаем дробь на $\cos 2t$:

$\cos 2t$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{\cos^2 t - \sin^2 t} = \cos 2t$.

г)

Докажем тождество $\frac{\sin \alpha + 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = \tan 2\alpha$.

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $\sin \alpha + 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha$. Сгруппируем крайние члены: $(\sin \alpha + \sin 3\alpha) + 2 \sin 2\alpha$.

Применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$:

$2 \sin \frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-3\alpha}{2} + 2 \sin 2\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos(-\alpha) + 2 \sin 2\alpha$.

Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, получаем:

$2 \sin 2\alpha \cos \alpha + 2 \sin 2\alpha = 2 \sin 2\alpha (\cos \alpha + 1)$.

Знаменатель: $\cos \alpha + 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha$. Сгруппируем крайние члены: $(\cos \alpha + \cos 3\alpha) + 2 \cos 2\alpha$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$:

$2 \cos \frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-3\alpha}{2} + 2 \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha \cos(-\alpha) + 2 \cos 2\alpha$.

Так как $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, получаем:

$2 \cos 2\alpha \cos \alpha + 2 \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha (\cos \alpha + 1)$.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{2 \sin 2\alpha (\cos \alpha + 1)}{2 \cos 2\alpha (\cos \alpha + 1)}$.

Сократим общий множитель $2(\cos \alpha + 1)$ (при условии, что он не равен нулю, т.е. $\cos \alpha \neq -1$):

$\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \tan 2\alpha$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\frac{\sin \alpha + 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = \tan 2\alpha$.

26. a) $ \cos t = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{t}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{t}{2}} $;

б) $ \sin \beta = \frac{2 \text{tg} \frac{\beta}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{\beta}{2}} $.

а) Докажем тождество $ \cos t = \frac{1 - \tg^2 \frac{t}{2}}{1 + \tg^2 \frac{t}{2}} $.

Для этого преобразуем правую часть выражения, используя определение тангенса $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $.

Заменим $ \tg^2 \frac{t}{2} $ на $ \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}} $:

$$ \frac{1 - \tg^2 \frac{t}{2}}{1 + \tg^2 \frac{t}{2}} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}}} $$

Чтобы избавиться от многоэтажной дроби, умножим числитель и знаменатель на $ \cos^2 \frac{t}{2} $. Это эквивалентно приведению к общему знаменателю в числителе и знаменателе основной дроби.

$$ \frac{\left(1 - \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}}\right) \cdot \cos^2 \frac{t}{2}}{\left(1 + \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}}\right) \cdot \cos^2 \frac{t}{2}} = \frac{\cos^2 \frac{t}{2} - \sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2}} $$

Теперь применим известные тригонометрические формулы:

1. В числителе используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. Для $ \alpha = \frac{t}{2} $ получаем $ \cos^2 \frac{t}{2} - \sin^2 \frac{t}{2} = \cos\left(2 \cdot \frac{t}{2}\right) = \cos t $.

2. В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество: $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $. Для $ \alpha = \frac{t}{2} $ получаем $ \cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2} = 1 $.

Подставляя полученные выражения обратно в дробь, имеем:

$$ \frac{\cos t}{1} = \cos t $$

Таким образом, правая часть тождества равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ \cos t = \frac{1 - \tg^2 \frac{t}{2}}{1 + \tg^2 \frac{t}{2}} $ доказано.

б) Докажем тождество $ \sin \beta = \frac{2 \tg \frac{\beta}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\beta}{2}} $.

Преобразуем правую часть выражения. Заменим $ \tg \frac{\beta}{2} $ на $ \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}} $ и $ \tg^2 \frac{\beta}{2} $ на $ \frac{\sin^2 \frac{\beta}{2}}{\cos^2 \frac{\beta}{2}} $.

$$ \frac{2 \tg \frac{\beta}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\beta}{2}} = \frac{2 \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{\beta}{2}}{\cos^2 \frac{\beta}{2}}} $$

Приведем знаменатель к общему знаменателю $ \cos^2 \frac{\beta}{2} $:

$$ \frac{2 \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{\beta}{2} + \sin^2 \frac{\beta}{2}}{\cos^2 \frac{\beta}{2}}} $$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $ \cos^2 \frac{\beta}{2} + \sin^2 \frac{\beta}{2} = 1 $. Подставим это значение в знаменатель:

$$ \frac{2 \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}}{\frac{1}{\cos^2 \frac{\beta}{2}}} $$

Теперь разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):

$$ 2 \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}} \cdot \cos^2 \frac{\beta}{2} = 2 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} $$

Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. Для $ \alpha = \frac{\beta}{2} $ получаем:

$$ 2 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} = \sin\left(2 \cdot \frac{\beta}{2}\right) = \sin \beta $$

Правая часть тождества равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ \sin \beta = \frac{2 \tg \frac{\beta}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\beta}{2}} $ доказано.

27. Вычислите (без помощи таблиц и калькулятора):

a) $ \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} $;

б) $ \left(\sin \frac{7\pi}{18} - \sin \frac{\pi}{18}\right) : \cos \frac{2\pi}{9} $;

в) $ \left(\sin^2 \frac{\pi}{8} - \cos^2 \frac{\pi}{8}\right)^2 $;

г) $ \frac{\cos \frac{11\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12}}{\sin \frac{5\pi}{12}} $.

а) Для вычисления выражения $sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$. Из этой формулы следует, что $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$. Применим эту формулу для $\alpha = \frac{\pi}{12}$: $sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \frac{1}{2} \sin(\frac{2\pi}{12}) = \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{6})$. Зная, что $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Преобразуем выражение в скобках, используя формулу разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$. В нашем случае $\alpha = \frac{7\pi}{18}$ и $\beta = \frac{\pi}{18}$. $sin \frac{7\pi}{18} - sin \frac{\pi}{18} = 2 \sin(\frac{\frac{7\pi}{18}-\frac{\pi}{18}}{2}) \cos(\frac{\frac{7\pi}{18}+\frac{\pi}{18}}{2}) = 2 \sin(\frac{6\pi/18}{2}) \cos(\frac{8\pi/18}{2}) = 2 \sin(\frac{\pi/3}{2}) \cos(\frac{4\pi/9}{2}) = 2 \sin\frac{\pi}{6} \cos\frac{2\pi}{9}$. Теперь подставим это в исходное выражение: $(2 \sin\frac{\pi}{6} \cos\frac{2\pi}{9}) : \cos\frac{2\pi}{9}$. Так как $\cos\frac{2\pi}{9} \neq 0$, мы можем сократить на $\cos\frac{2\pi}{9}$: $2 \sin\frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Ответ: $1$.

в) Выражение в скобках можно преобразовать, вынеся знак минус: $\sin^2 \frac{\pi}{8} - \cos^2 \frac{\pi}{8} = -(\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8})$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. При $\alpha = \frac{\pi}{8}$ получаем: $-(\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}) = -\cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -\cos(\frac{2\pi}{8}) = -\cos\frac{\pi}{4}$. Значение $\cos\frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, выражение в скобках равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь возведем результат в квадрат: $(-\cos\frac{\pi}{4})^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Для преобразования числителя дроби воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$. В нашем случае $\alpha = \frac{11\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$. $\cos \frac{11\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12} = -2 \sin(\frac{\frac{11\pi}{12}+\frac{\pi}{12}}{2}) \sin(\frac{\frac{11\pi}{12}-\frac{\pi}{12}}{2}) = -2 \sin(\frac{12\pi/12}{2}) \sin(\frac{10\pi/12}{2}) = -2 \sin\frac{\pi}{2} \sin\frac{5\pi}{12}$. Подставим полученное выражение в исходную дробь: $\frac{-2 \sin\frac{\pi}{2} \sin\frac{5\pi}{12}}{\sin\frac{5\pi}{12}}$. Так как $\sin\frac{5\pi}{12} \neq 0$, мы можем сократить дробь на $\sin\frac{5\pi}{12}$: $-2 \sin\frac{\pi}{2}$. Зная, что $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, получаем: $-2 \cdot 1 = -2$.
Ответ: $-2$.