Страница 11 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

2.— Выразите в градусной мере величины углов:

а) $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{36}$;

б) $\frac{2\pi}{5}$, $\frac{3\pi}{4}$, $-\frac{\pi}{9}$;

в) $\frac{\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{5}$, $\pi$;

г) $\frac{5\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{2}$, $-\frac{7\pi}{12}$.

Для того чтобы выразить величину угла из радианной меры в градусную, необходимо использовать основное соотношение: $\pi \text{ радиан} = 180^\circ$. Из этого соотношения следует формула для перевода:

$\alpha_{градусы} = \alpha_{радианы} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$

Применим эту формулу для каждого из заданных углов.

а)

1. $\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$
2. $\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$
3. $\frac{5\pi}{36} = \frac{5\pi}{36} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{36} = 5 \cdot 5^\circ = 25^\circ$
Ответ: $60^\circ, 90^\circ, 25^\circ$.

б)

1. $\frac{2\pi}{5} = \frac{2\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{5} = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$
2. $\frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$
3. $-\frac{\pi}{9} = -\frac{\pi}{9} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{180^\circ}{9} = -20^\circ$
Ответ: $72^\circ, 135^\circ, -20^\circ$.

в)

1. $\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$
2. $\frac{3\pi}{5} = \frac{3\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$
3. $\pi = \pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 180^\circ$
Ответ: $30^\circ, 108^\circ, 180^\circ$.

г)

1. $\frac{5\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{4} = 5 \cdot 45^\circ = 225^\circ$
2. $\frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{2} = 3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$
3. $-\frac{7\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{7 \cdot 180^\circ}{12} = -7 \cdot 15^\circ = -105^\circ$
Ответ: $225^\circ, 270^\circ, -105^\circ$.

3.— Найдите числовое значение выражения:

a) $ \sin 0 + \cos \frac{\pi}{2} + \sin^2 \frac{\pi}{4} $

б) $ 3 \sin \frac{\pi}{6} + 2 \cos \pi + \operatorname{ctg}^2 \frac{\pi}{6} $

в) $ 6 \sin \frac{\pi}{6} - 2 \cos 0 + \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{3} $

г) $ 3 \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - \sin^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{6} $

а) $ \sin 0 + \cos\frac{\pi}{2} + \sin^2\frac{\pi}{4} $. Для вычисления значения данного выражения воспользуемся известными значениями тригонометрических функций: $ \sin 0 = 0 $, $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Возведем значение синуса в квадрат: $ \sin^2\frac{\pi}{4} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $. Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение: $ 0 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $. Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) $ 3 \sin\frac{\pi}{6} + 2 \cos\pi + \text{ctg}^2\frac{\pi}{6} $. Найдем значения тригонометрических функций из таблицы: $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, $ \cos\pi = -1 $ и $ \text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $. Возведем котангенс в квадрат: $ \text{ctg}^2\frac{\pi}{6} = (\sqrt{3})^2 = 3 $. Подставим значения в выражение: $ 3 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot (-1) + 3 = \frac{3}{2} - 2 + 3 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2} $. Ответ: $ \frac{5}{2} $

в) $ 6 \sin\frac{\pi}{6} - 2 \cos 0 + \text{tg}^2\frac{\pi}{3} $. Найдем значения тригонометрических функций: $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, $ \cos 0 = 1 $ и $ \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $. Возведем тангенс в квадрат: $ \text{tg}^2\frac{\pi}{3} = (\sqrt{3})^2 = 3 $. Подставим значения в выражение: $ 6 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 + 3 = 3 - 2 + 3 = 4 $. Ответ: $ 4 $

г) $ 3 \text{tg}\frac{\pi}{4} - \sin^2\frac{\pi}{3} + \cos^2\frac{\pi}{6} $. Найдем значения тригонометрических функций: $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $, $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Теперь найдем значения квадратов синуса и косинуса: $ \sin^2\frac{\pi}{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $ и $ \cos^2\frac{\pi}{6} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $. Подставим значения в выражение: $ 3 \cdot 1 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 3 $. Ответ: $ 3 $

4.- Существуют ли числа $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, для которых:

a) $\sin \alpha = -0,5$, $\cos \beta = \sqrt{3}$, $\operatorname{tg} \gamma = -2,5$;

б) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $\cos \beta = -2,2$, $\operatorname{tg} \gamma = 0,31$;

в) $\sin \alpha = 1,3$, $\cos \beta = \frac{\sqrt{10}}{4}$, $\operatorname{tg} \gamma = 5,2$;

г) $\sin \alpha = -\frac{7}{9}$, $\cos \beta = \sqrt{2,5}$, $\operatorname{tg} \gamma = -7,5$?

Для решения этой задачи необходимо вспомнить области значений основных тригонометрических функций:

• Для синуса: $\sin x \in [-1, 1]$
• Для косинуса: $\cos x \in [-1, 1]$
• Для тангенса: $\operatorname{tg} x \in (-\infty, +\infty)$

Это означает, что модуль синуса и косинуса любого числа не может превышать 1, в то время как тангенс может принимать любое действительное значение. Для существования набора чисел $\alpha, \beta, \gamma$ необходимо, чтобы все три условия выполнялись одновременно.

а) $\sin \alpha = -0,5, \cos \beta = \sqrt{3}, \operatorname{tg} \gamma = -2,5$

Проверим каждое равенство:
1. $\sin \alpha = -0,5$. Это возможно, так как $-1 \le -0,5 \le 1$.
2. $\cos \beta = \sqrt{3}$. Это невозможно, так как $\sqrt{3} \approx 1,732$, что больше 1. Область значений косинуса не включает это число.
3. $\operatorname{tg} \gamma = -2,5$. Это возможно, так как тангенс может принимать любое значение.
Поскольку не существует такого числа $\beta$, для которого $\cos \beta = \sqrt{3}$, то и всего набора чисел не существует.

Ответ: нет.

б) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}, \cos \beta = -2,2, \operatorname{tg} \gamma = 0,31$

Проверим каждое равенство:
1. $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Это невозможно. Так как $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$, то $\frac{\sqrt{5}}{2} > 1$. Значение синуса не может быть больше 1.
2. $\cos \beta = -2,2$. Это невозможно, так как $-2,2 < -1$. Значение косинуса не может быть меньше -1.
3. $\operatorname{tg} \gamma = 0,31$. Это возможно.
Поскольку не существуют числа $\alpha$ и $\beta$, удовлетворяющие данным условиям, то и всего набора чисел не существует.

Ответ: нет.

в) $\sin \alpha = 1,3, \cos \beta = \frac{\sqrt{10}}{4}, \operatorname{tg} \gamma = 5,2$

Проверим каждое равенство:
1. $\sin \alpha = 1,3$. Это невозможно, так как $1,3 > 1$.
2. $\cos \beta = \frac{\sqrt{10}}{4}$. Это возможно. Чтобы проверить, возведем значение в квадрат: $(\frac{\sqrt{10}}{4})^2 = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$. Так как $\frac{5}{8} < 1$, то и само значение по модулю меньше 1, т.е. $|\frac{\sqrt{10}}{4}| < 1$.
3. $\operatorname{tg} \gamma = 5,2$. Это возможно.
Поскольку не существует числа $\alpha$, удовлетворяющего данному условию, то и всего набора чисел не существует.

Ответ: нет.

г) $\sin \alpha = -\frac{7}{9}, \cos \beta = \sqrt{2,5}, \operatorname{tg} \gamma = -7,5$

Проверим каждое равенство:
1. $\sin \alpha = -\frac{7}{9}$. Это возможно, так как $|-\frac{7}{9}| = \frac{7}{9} < 1$.
2. $\cos \beta = \sqrt{2,5}$. Это невозможно. Так как $2,5 > 1$, то $\sqrt{2,5} > \sqrt{1} = 1$. Значение косинуса не может быть больше 1.
3. $\operatorname{tg} \gamma = -7,5$. Это возможно.
Поскольку не существует числа $\beta$, удовлетворяющего данному условию, то и всего набора чисел не существует.

Ответ: нет.

5.- Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно:

а) $- \frac{7}{25}$ и $\frac{24}{25}$;

б) 0,4 и 0,7;

в) $\frac{\sqrt{6}}{3}$ и $- \frac{\sqrt{5}}{3}$;

г) $- \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$?

Для того чтобы два числа могли быть синусом и косинусом одного и того же числа $\alpha$, они должны удовлетворять основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Проверим это тождество для каждой пары чисел.

а) $-\frac{7}{25}$ и $\frac{24}{25}$
Пусть $\sin\alpha = -\frac{7}{25}$ и $\cos\alpha = \frac{24}{25}$.Подставим эти значения в основное тригонометрическое тождество:$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(-\frac{7}{25}\right)^2 + \left(\frac{24}{25}\right)^2 = \frac{49}{625} + \frac{576}{625} = \frac{49 + 576}{625} = \frac{625}{625} = 1$.Так как равенство выполняется, данные числа могут быть синусом и косинусом одного и того же числа.
Ответ: да, могут.

б) 0,4 и 0,7
Пусть $\sin\alpha = 0,4$ и $\cos\alpha = 0,7$.Подставим эти значения в тождество:$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (0,4)^2 + (0,7)^2 = 0,16 + 0,49 = 0,65$.Так как $0,65 \neq 1$, тождество не выполняется, и данные числа не могут быть синусом и косинусом одного числа.
Ответ: нет, не могут.

в) $\frac{\sqrt{6}}{3}$ и $-\frac{\sqrt{5}}{3}$
Пусть $\sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$.Подставим эти значения в тождество:$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{6}{9} + \frac{5}{9} = \frac{11}{9}$.Так как $\frac{11}{9} \neq 1$, тождество не выполняется.
Ответ: нет, не могут.

г) $-\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$
Пусть $\sin\alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$.Подставим эти значения в тождество:$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1$.Так как равенство выполняется, данные числа могут быть синусом и косинусом одного и того же числа.
Ответ: да, могут.

6. Могут ли тангенс и котангенс одного и того же числа быть равными соответственно:

а) $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{5}{3}$;

б) $(\sqrt{3}-2)$ и $(\sqrt{3}+2)$;

в) $2,4$ и $-\frac{5}{12}$;

г) $\frac{\sqrt{5}}{2}$ и $\frac{2\sqrt{5}}{5}$?

Основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и котангенс одного и того же угла (числа) $\alpha$, гласит: $\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1$. Это тождество справедливо для всех значений $\alpha$, для которых тангенс и котангенс определены.

Из этого тождества следует два важных условия:

1. Произведение тангенса и котангенса одного и того же числа всегда равно 1.
2. Тангенс и котангенс одного и того же числа всегда имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).

Проверим каждую пару чисел на соответствие этим условиям.

а) Даны числа $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{5}{3}$.
Оба числа отрицательные, знаки совпадают. Проверим их произведение:
$\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 3} = 1$.
Поскольку произведение равно 1, эти числа могут быть тангенсом и котангенсом одного и того же числа.
Ответ: да, могут.

б) Даны числа $(\sqrt{3} - 2)$ и $(\sqrt{3} + 2)$.
Оценим знаки чисел. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{3} - 2 < 0$ (отрицательное число). Число $\sqrt{3} + 2 > 0$ (положительное число). Поскольку числа имеют разные знаки, они не могут быть тангенсом и котангенсом одного и того же числа.
Дополнительно проверим их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(\sqrt{3} - 2) \cdot (\sqrt{3} + 2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$.
Произведение не равно 1.
Ответ: нет, не могут.

в) Даны числа $2,4$ и $-\frac{5}{12}$.
Число $2,4$ положительное, а число $-\frac{5}{12}$ отрицательное. Так как тангенс и котангенс одного и того же числа должны иметь одинаковые знаки, эти числа не могут быть тангенсом и котангенсом одного и того же числа.
Проверим их произведение, представив $2,4$ в виде обыкновенной дроби: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.
$2,4 \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) = \frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) = -1$.
Произведение не равно 1.
Ответ: нет, не могут.

г) Даны числа $\frac{\sqrt{5}}{2}$ и $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Оба числа положительные, знаки совпадают. Проверим их произведение:
$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 5}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
Поскольку произведение равно 1, эти числа могут быть тангенсом и котангенсом одного и того же числа.
Ответ: да, могут.

7.- Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если:

a) $sin \alpha = -0,8$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

б) $cos \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{4}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

в) $sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

г) $cos \alpha = \frac{15}{17}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

а) Дано: $sin \alpha = -0,8$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это третья координатная четверть.
1. Для нахождения $cos \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Следовательно, $cos \alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$.
Поскольку угол $\alpha$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, выбираем значение со знаком минус: $cos \alpha = -0,6$.
2. Теперь найдем тангенс: $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
$tan \alpha = \frac{-0,8}{-0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
3. И котангенс: $cot \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$.
$cot \alpha = \frac{-0,6}{-0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. (Или $cot \alpha = \frac{1}{tan \alpha} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$).
Ответ: $cos \alpha = -0,6$, $tan \alpha = \frac{4}{3}$, $cot \alpha = \frac{3}{4}$.

б) Дано: $cos \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{4}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это вторая координатная четверть.
1. Для нахождения $sin \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{6}{16} = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.
Следовательно, $sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{8}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{4}$.
Поскольку угол $\alpha$ находится во второй четверти, где синус положителен, выбираем значение со знаком плюс: $sin \alpha = \frac{\sqrt{10}}{4}$.
2. Найдем тангенс: $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
$tan \alpha = \frac{\frac{\sqrt{10}}{4}}{-\frac{\sqrt{6}}{4}} = -\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{6}} = -\sqrt{\frac{10}{6}} = -\sqrt{\frac{5}{3}} = -\frac{\sqrt{15}}{3}$.
3. Найдем котангенс: $cot \alpha = \frac{1}{tan \alpha}$.
$cot \alpha = \frac{1}{-\frac{\sqrt{15}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{15}} = -\frac{3\sqrt{15}}{15} = -\frac{\sqrt{15}}{5}$.
Ответ: $sin \alpha = \frac{\sqrt{10}}{4}$, $tan \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{3}$, $cot \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{5}$.

в) Дано: $sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это первая координатная четверть.
1. Найдем $cos \alpha$ из тождества $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.
Следовательно, $cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{7}{9}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{3}$.
В первой четверти все тригонометрические функции положительны, поэтому $cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$.
2. Найдем тангенс: $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
$tan \alpha = \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{14}}{7}$.
3. Найдем котангенс: $cot \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$.
$cot \alpha = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.
Ответ: $cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$, $tan \alpha = \frac{\sqrt{14}}{7}$, $cot \alpha = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

г) Дано: $cos \alpha = \frac{15}{17}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Это четвертая координатная четверть.
1. Найдем $sin \alpha$ из тождества $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$.
Следовательно, $sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{64}{289}} = \pm\frac{8}{17}$.
Поскольку угол $\alpha$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, выбираем значение со знаком минус: $sin \alpha = -\frac{8}{17}$.
2. Найдем тангенс: $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
$tan \alpha = \frac{-\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} = -\frac{8}{15}$.
3. Найдем котангенс: $cot \alpha = \frac{1}{tan \alpha}$.
$cot \alpha = \frac{1}{-\frac{8}{15}} = -\frac{15}{8}$.
Ответ: $sin \alpha = -\frac{8}{17}$, $tan \alpha = -\frac{8}{15}$, $cot \alpha = -\frac{15}{8}$.

8. Упростите выражение:

а) $\cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha;$

б) $\frac{1 - 2 \cos^2 \beta}{\cos \beta + \sin \beta};$

в) $(\sin^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha) \operatorname{ctg} \alpha;$

г) $\frac{\sin^2 t - 1}{\cos^4 t} + \operatorname{tg}^2 t.$

а) Упростим выражение $ \cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha $.
Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $ \cos^2 \alpha $:
$ \cos^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha) + \sin^4 \alpha $.
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, из которого следует, что $ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $.
Подставим это в выражение:
$ \cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha $.
Теперь вынесем за скобки общий множитель $ \sin^2 \alpha $:
$ \sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) $.
Снова применяя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $, получаем:
$ \sin^2 \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha $.
Ответ: $ \sin^2 \alpha $.

б) Упростим выражение $ \frac{1 - 2 \cos^2 \beta}{\cos \beta + \sin \beta} $.
Заменим в числителе единицу, используя основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2 \beta + \cos^2 \beta $:
$ \frac{(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) - 2 \cos^2 \beta}{\cos \beta + \sin \beta} $.
Упростим числитель:
$ \frac{\sin^2 \beta - \cos^2 \beta}{\cos \beta + \sin \beta} $.
Применим в числителе формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ \frac{(\sin \beta - \cos \beta)(\sin \beta + \cos \beta)}{\sin \beta + \cos \beta} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (\sin \beta + \cos \beta) $, при условии, что он не равен нулю:
$ \sin \beta - \cos \beta $.
Ответ: $ \sin \beta - \cos \beta $.

в) Упростим выражение $ (\sin^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha) \operatorname{ctg} \alpha $.
В выражении в скобках вынесем общий множитель $ \sin^2 \alpha $:
$ (\sin^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)) \operatorname{ctg} \alpha $.
Используем тригонометрическое тождество $ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $:
$ \left(\sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) \operatorname{ctg} \alpha $.
Выражение в скобках равно $ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha $. Получаем:
$ \operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha $.
Используя тождество $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} $, имеем:
$ \operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} \alpha $.
Ответ: $ \operatorname{tg} \alpha $.

г) Упростим выражение $ \frac{\sin^2 t - 1}{\cos^4 t} + \operatorname{tg}^2 t $.
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, из которого следует, что $ \sin^2 t - 1 = -\cos^2 t $.
Подставим это в числитель дроби:
$ \frac{-\cos^2 t}{\cos^4 t} + \operatorname{tg}^2 t $.
Сократим дробь на $ \cos^2 t $:
$ -\frac{1}{\cos^2 t} + \operatorname{tg}^2 t $.
Используем тождество $ 1 + \operatorname{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} $, которое можно переписать в виде $ \operatorname{tg}^2 t - \frac{1}{\cos^2 t} = -1 $.
Таким образом, выражение равно -1.
Ответ: $ -1 $.