Номер 3, страница 11 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 3, страница 11.

Условие.

3.— Найдите числовое значение выражения:

a) $ \sin 0 + \cos \frac{\pi}{2} + \sin^2 \frac{\pi}{4} $

б) $ 3 \sin \frac{\pi}{6} + 2 \cos \pi + \operatorname{ctg}^2 \frac{\pi}{6} $

в) $ 6 \sin \frac{\pi}{6} - 2 \cos 0 + \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{3} $

г) $ 3 \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - \sin^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{6} $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $ \sin 0 + \cos\frac{\pi}{2} + \sin^2\frac{\pi}{4} $. Для вычисления значения данного выражения воспользуемся известными значениями тригонометрических функций: $ \sin 0 = 0 $, $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Возведем значение синуса в квадрат: $ \sin^2\frac{\pi}{4} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $. Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение: $ 0 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $. Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) $ 3 \sin\frac{\pi}{6} + 2 \cos\pi + \text{ctg}^2\frac{\pi}{6} $. Найдем значения тригонометрических функций из таблицы: $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, $ \cos\pi = -1 $ и $ \text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $. Возведем котангенс в квадрат: $ \text{ctg}^2\frac{\pi}{6} = (\sqrt{3})^2 = 3 $. Подставим значения в выражение: $ 3 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot (-1) + 3 = \frac{3}{2} - 2 + 3 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2} $. Ответ: $ \frac{5}{2} $

в) $ 6 \sin\frac{\pi}{6} - 2 \cos 0 + \text{tg}^2\frac{\pi}{3} $. Найдем значения тригонометрических функций: $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, $ \cos 0 = 1 $ и $ \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $. Возведем тангенс в квадрат: $ \text{tg}^2\frac{\pi}{3} = (\sqrt{3})^2 = 3 $. Подставим значения в выражение: $ 6 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 + 3 = 3 - 2 + 3 = 4 $. Ответ: $ 4 $

г) $ 3 \text{tg}\frac{\pi}{4} - \sin^2\frac{\pi}{3} + \cos^2\frac{\pi}{6} $. Найдем значения тригонометрических функций: $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $, $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Теперь найдем значения квадратов синуса и косинуса: $ \sin^2\frac{\pi}{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $ и $ \cos^2\frac{\pi}{6} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $. Подставим значения в выражение: $ 3 \cdot 1 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 3 $. Ответ: $ 3 $