Номер 8, страница 11 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 8, страница 11.

Условие.

8. Упростите выражение:

а) $\cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha;$

б) $\frac{1 - 2 \cos^2 \beta}{\cos \beta + \sin \beta};$

в) $(\sin^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha) \operatorname{ctg} \alpha;$

г) $\frac{\sin^2 t - 1}{\cos^4 t} + \operatorname{tg}^2 t.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Упростим выражение $ \cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha $.
Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $ \cos^2 \alpha $:
$ \cos^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha) + \sin^4 \alpha $.
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, из которого следует, что $ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $.
Подставим это в выражение:
$ \cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha $.
Теперь вынесем за скобки общий множитель $ \sin^2 \alpha $:
$ \sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) $.
Снова применяя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $, получаем:
$ \sin^2 \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha $.
Ответ: $ \sin^2 \alpha $.

б) Упростим выражение $ \frac{1 - 2 \cos^2 \beta}{\cos \beta + \sin \beta} $.
Заменим в числителе единицу, используя основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2 \beta + \cos^2 \beta $:
$ \frac{(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) - 2 \cos^2 \beta}{\cos \beta + \sin \beta} $.
Упростим числитель:
$ \frac{\sin^2 \beta - \cos^2 \beta}{\cos \beta + \sin \beta} $.
Применим в числителе формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ \frac{(\sin \beta - \cos \beta)(\sin \beta + \cos \beta)}{\sin \beta + \cos \beta} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (\sin \beta + \cos \beta) $, при условии, что он не равен нулю:
$ \sin \beta - \cos \beta $.
Ответ: $ \sin \beta - \cos \beta $.

в) Упростим выражение $ (\sin^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha) \operatorname{ctg} \alpha $.
В выражении в скобках вынесем общий множитель $ \sin^2 \alpha $:
$ (\sin^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)) \operatorname{ctg} \alpha $.
Используем тригонометрическое тождество $ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $:
$ \left(\sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) \operatorname{ctg} \alpha $.
Выражение в скобках равно $ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha $. Получаем:
$ \operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha $.
Используя тождество $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} $, имеем:
$ \operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} \alpha $.
Ответ: $ \operatorname{tg} \alpha $.

г) Упростим выражение $ \frac{\sin^2 t - 1}{\cos^4 t} + \operatorname{tg}^2 t $.
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, из которого следует, что $ \sin^2 t - 1 = -\cos^2 t $.
Подставим это в числитель дроби:
$ \frac{-\cos^2 t}{\cos^4 t} + \operatorname{tg}^2 t $.
Сократим дробь на $ \cos^2 t $:
$ -\frac{1}{\cos^2 t} + \operatorname{tg}^2 t $.
Используем тождество $ 1 + \operatorname{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} $, которое можно переписать в виде $ \operatorname{tg}^2 t - \frac{1}{\cos^2 t} = -1 $.
Таким образом, выражение равно -1.
Ответ: $ -1 $.