Номер 4, страница 11 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 4, страница 11.

Условие.

4.- Существуют ли числа $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, для которых:

a) $\sin \alpha = -0,5$, $\cos \beta = \sqrt{3}$, $\operatorname{tg} \gamma = -2,5$;

б) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $\cos \beta = -2,2$, $\operatorname{tg} \gamma = 0,31$;

в) $\sin \alpha = 1,3$, $\cos \beta = \frac{\sqrt{10}}{4}$, $\operatorname{tg} \gamma = 5,2$;

г) $\sin \alpha = -\frac{7}{9}$, $\cos \beta = \sqrt{2,5}$, $\operatorname{tg} \gamma = -7,5$?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить области значений основных тригонометрических функций:

• Для синуса: $\sin x \in [-1, 1]$
• Для косинуса: $\cos x \in [-1, 1]$
• Для тангенса: $\operatorname{tg} x \in (-\infty, +\infty)$

Это означает, что модуль синуса и косинуса любого числа не может превышать 1, в то время как тангенс может принимать любое действительное значение. Для существования набора чисел $\alpha, \beta, \gamma$ необходимо, чтобы все три условия выполнялись одновременно.

а) $\sin \alpha = -0,5, \cos \beta = \sqrt{3}, \operatorname{tg} \gamma = -2,5$

Проверим каждое равенство:
1. $\sin \alpha = -0,5$. Это возможно, так как $-1 \le -0,5 \le 1$.
2. $\cos \beta = \sqrt{3}$. Это невозможно, так как $\sqrt{3} \approx 1,732$, что больше 1. Область значений косинуса не включает это число.
3. $\operatorname{tg} \gamma = -2,5$. Это возможно, так как тангенс может принимать любое значение.
Поскольку не существует такого числа $\beta$, для которого $\cos \beta = \sqrt{3}$, то и всего набора чисел не существует.

Ответ: нет.

б) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}, \cos \beta = -2,2, \operatorname{tg} \gamma = 0,31$

Проверим каждое равенство:
1. $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Это невозможно. Так как $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$, то $\frac{\sqrt{5}}{2} > 1$. Значение синуса не может быть больше 1.
2. $\cos \beta = -2,2$. Это невозможно, так как $-2,2 < -1$. Значение косинуса не может быть меньше -1.
3. $\operatorname{tg} \gamma = 0,31$. Это возможно.
Поскольку не существуют числа $\alpha$ и $\beta$, удовлетворяющие данным условиям, то и всего набора чисел не существует.

Ответ: нет.

в) $\sin \alpha = 1,3, \cos \beta = \frac{\sqrt{10}}{4}, \operatorname{tg} \gamma = 5,2$

Проверим каждое равенство:
1. $\sin \alpha = 1,3$. Это невозможно, так как $1,3 > 1$.
2. $\cos \beta = \frac{\sqrt{10}}{4}$. Это возможно. Чтобы проверить, возведем значение в квадрат: $(\frac{\sqrt{10}}{4})^2 = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$. Так как $\frac{5}{8} < 1$, то и само значение по модулю меньше 1, т.е. $|\frac{\sqrt{10}}{4}| < 1$.
3. $\operatorname{tg} \gamma = 5,2$. Это возможно.
Поскольку не существует числа $\alpha$, удовлетворяющего данному условию, то и всего набора чисел не существует.

Ответ: нет.

г) $\sin \alpha = -\frac{7}{9}, \cos \beta = \sqrt{2,5}, \operatorname{tg} \gamma = -7,5$

Проверим каждое равенство:
1. $\sin \alpha = -\frac{7}{9}$. Это возможно, так как $|-\frac{7}{9}| = \frac{7}{9} < 1$.
2. $\cos \beta = \sqrt{2,5}$. Это невозможно. Так как $2,5 > 1$, то $\sqrt{2,5} > \sqrt{1} = 1$. Значение косинуса не может быть больше 1.
3. $\operatorname{tg} \gamma = -7,5$. Это возможно.
Поскольку не существует числа $\beta$, удовлетворяющего данному условию, то и всего набора чисел не существует.

Ответ: нет.