Номер 11, страница 12 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 11, страница 12.

Условие.

11. Упростите выражение:

a) $ \frac{2 \sin \alpha \cos \beta - \sin (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta} $

б) $ \frac{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha} $

в) $ \frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{2 \sin \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sqrt{2} \sin \alpha} $

г) $ \operatorname{ctg}^2 \alpha (1 - \cos 2\alpha) + \cos^2 \alpha $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $ \frac{2 \sin \alpha \cos \beta - \sin (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta} $ воспользуемся тригонометрическими формулами.
Рассмотрим числитель: $2 \sin \alpha \cos \beta - \sin (\alpha - \beta)$.
Применим формулу произведения синуса на косинус: $2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
Тогда числитель примет вид: $(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) - \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha + \beta)$.
Рассмотрим знаменатель: $\cos (\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta$.
Применим формулу произведения синусов: $2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.
Тогда знаменатель примет вид: $\cos(\alpha - \beta) - (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha + \beta)$.
В результате дробь упрощается до:
$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \tan(\alpha + \beta)$.
Ответ: $\tan(\alpha + \beta)$

б) Для упрощения выражения $ \frac{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha} $ используем формулы двойного угла.
Преобразуем числитель: $1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha$.
Сгруппируем слагаемые и применим формулу $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$.
$(1 + \cos 2\alpha) - \cos \alpha = 2\cos^2 \alpha - \cos \alpha = \cos \alpha(2\cos \alpha - 1)$.
Преобразуем знаменатель: $\sin 2\alpha - \sin \alpha$.
Применим формулу $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$.
$2\sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha = \sin \alpha(2\cos \alpha - 1)$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{\cos \alpha(2\cos \alpha - 1)}{\sin \alpha(2\cos \alpha - 1)}$.
Сократив общий множитель $(2\cos \alpha - 1)$, получим:
$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha$.
Ответ: $\cot \alpha$

в) Для упрощения выражения $ \frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{2 \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \sqrt{2} \sin \alpha} $ используем формулы сложения аргументов.
Формула косинуса суммы: $\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha)$.
Формула синуса суммы: $\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha)$.
Преобразуем числитель:
$\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) = \sqrt{2} \cos \alpha - \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha$.
Преобразуем знаменатель:
$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) - \sqrt{2} \sin \alpha = \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha$.
Разделим полученный числитель на знаменатель:
$\frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan \alpha$.
Ответ: $\tan \alpha$

г) Упростим выражение $\cot^2 \alpha (1 - \cos 2\alpha) + \cos^2 \alpha$.
Используем формулу понижения степени, выраженную через косинус двойного угла: $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$\cot^2 \alpha \cdot (2\sin^2 \alpha) + \cos^2 \alpha$.
Заменим $\cot^2 \alpha$ на отношение $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$:
$\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot 2\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$.
Сократим $\sin^2 \alpha$ в первом слагаемом (при условии $\sin \alpha \neq 0$):
$2\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 3\cos^2 \alpha$.
Ответ: $3\cos^2 \alpha$