Номер 6, страница 11 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 6, страница 11.

Условие.

6. Могут ли тангенс и котангенс одного и того же числа быть равными соответственно:

а) $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{5}{3}$;

б) $(\sqrt{3}-2)$ и $(\sqrt{3}+2)$;

в) $2,4$ и $-\frac{5}{12}$;

г) $\frac{\sqrt{5}}{2}$ и $\frac{2\sqrt{5}}{5}$?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и котангенс одного и того же угла (числа) $\alpha$, гласит: $\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1$. Это тождество справедливо для всех значений $\alpha$, для которых тангенс и котангенс определены.

Из этого тождества следует два важных условия:

1. Произведение тангенса и котангенса одного и того же числа всегда равно 1.
2. Тангенс и котангенс одного и того же числа всегда имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).

Проверим каждую пару чисел на соответствие этим условиям.

а) Даны числа $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{5}{3}$.
Оба числа отрицательные, знаки совпадают. Проверим их произведение:
$\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 3} = 1$.
Поскольку произведение равно 1, эти числа могут быть тангенсом и котангенсом одного и того же числа.
Ответ: да, могут.

б) Даны числа $(\sqrt{3} - 2)$ и $(\sqrt{3} + 2)$.
Оценим знаки чисел. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{3} - 2 < 0$ (отрицательное число). Число $\sqrt{3} + 2 > 0$ (положительное число). Поскольку числа имеют разные знаки, они не могут быть тангенсом и котангенсом одного и того же числа.
Дополнительно проверим их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(\sqrt{3} - 2) \cdot (\sqrt{3} + 2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$.
Произведение не равно 1.
Ответ: нет, не могут.

в) Даны числа $2,4$ и $-\frac{5}{12}$.
Число $2,4$ положительное, а число $-\frac{5}{12}$ отрицательное. Так как тангенс и котангенс одного и того же числа должны иметь одинаковые знаки, эти числа не могут быть тангенсом и котангенсом одного и того же числа.
Проверим их произведение, представив $2,4$ в виде обыкновенной дроби: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.
$2,4 \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) = \frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) = -1$.
Произведение не равно 1.
Ответ: нет, не могут.

г) Даны числа $\frac{\sqrt{5}}{2}$ и $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Оба числа положительные, знаки совпадают. Проверим их произведение:
$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 5}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
Поскольку произведение равно 1, эти числа могут быть тангенсом и котангенсом одного и того же числа.
Ответ: да, могут.