Номер 5, страница 11 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 5, страница 11.

Условие.

5.- Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно:

а) $- \frac{7}{25}$ и $\frac{24}{25}$;

б) 0,4 и 0,7;

в) $\frac{\sqrt{6}}{3}$ и $- \frac{\sqrt{5}}{3}$;

г) $- \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы два числа могли быть синусом и косинусом одного и того же числа $\alpha$, они должны удовлетворять основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Проверим это тождество для каждой пары чисел.

а) $-\frac{7}{25}$ и $\frac{24}{25}$
Пусть $\sin\alpha = -\frac{7}{25}$ и $\cos\alpha = \frac{24}{25}$.Подставим эти значения в основное тригонометрическое тождество:$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(-\frac{7}{25}\right)^2 + \left(\frac{24}{25}\right)^2 = \frac{49}{625} + \frac{576}{625} = \frac{49 + 576}{625} = \frac{625}{625} = 1$.Так как равенство выполняется, данные числа могут быть синусом и косинусом одного и того же числа.
Ответ: да, могут.

б) 0,4 и 0,7
Пусть $\sin\alpha = 0,4$ и $\cos\alpha = 0,7$.Подставим эти значения в тождество:$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (0,4)^2 + (0,7)^2 = 0,16 + 0,49 = 0,65$.Так как $0,65 \neq 1$, тождество не выполняется, и данные числа не могут быть синусом и косинусом одного числа.
Ответ: нет, не могут.

в) $\frac{\sqrt{6}}{3}$ и $-\frac{\sqrt{5}}{3}$
Пусть $\sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$.Подставим эти значения в тождество:$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{6}{9} + \frac{5}{9} = \frac{11}{9}$.Так как $\frac{11}{9} \neq 1$, тождество не выполняется.
Ответ: нет, не могут.

г) $-\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$
Пусть $\sin\alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$.Подставим эти значения в тождество:$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1$.Так как равенство выполняется, данные числа могут быть синусом и косинусом одного и того же числа.
Ответ: да, могут.