Номер 7, страница 11 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 7, страница 11.

Условие.

7.- Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если:

a) $sin \alpha = -0,8$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

б) $cos \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{4}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

в) $sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

г) $cos \alpha = \frac{15}{17}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дано: $sin \alpha = -0,8$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это третья координатная четверть.
1. Для нахождения $cos \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Следовательно, $cos \alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$.
Поскольку угол $\alpha$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, выбираем значение со знаком минус: $cos \alpha = -0,6$.
2. Теперь найдем тангенс: $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
$tan \alpha = \frac{-0,8}{-0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
3. И котангенс: $cot \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$.
$cot \alpha = \frac{-0,6}{-0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. (Или $cot \alpha = \frac{1}{tan \alpha} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$).
Ответ: $cos \alpha = -0,6$, $tan \alpha = \frac{4}{3}$, $cot \alpha = \frac{3}{4}$.

б) Дано: $cos \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{4}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это вторая координатная четверть.
1. Для нахождения $sin \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{6}{16} = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.
Следовательно, $sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{8}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{4}$.
Поскольку угол $\alpha$ находится во второй четверти, где синус положителен, выбираем значение со знаком плюс: $sin \alpha = \frac{\sqrt{10}}{4}$.
2. Найдем тангенс: $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
$tan \alpha = \frac{\frac{\sqrt{10}}{4}}{-\frac{\sqrt{6}}{4}} = -\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{6}} = -\sqrt{\frac{10}{6}} = -\sqrt{\frac{5}{3}} = -\frac{\sqrt{15}}{3}$.
3. Найдем котангенс: $cot \alpha = \frac{1}{tan \alpha}$.
$cot \alpha = \frac{1}{-\frac{\sqrt{15}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{15}} = -\frac{3\sqrt{15}}{15} = -\frac{\sqrt{15}}{5}$.
Ответ: $sin \alpha = \frac{\sqrt{10}}{4}$, $tan \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{3}$, $cot \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{5}$.

в) Дано: $sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это первая координатная четверть.
1. Найдем $cos \alpha$ из тождества $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.
Следовательно, $cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{7}{9}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{3}$.
В первой четверти все тригонометрические функции положительны, поэтому $cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$.
2. Найдем тангенс: $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
$tan \alpha = \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{14}}{7}$.
3. Найдем котангенс: $cot \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$.
$cot \alpha = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.
Ответ: $cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$, $tan \alpha = \frac{\sqrt{14}}{7}$, $cot \alpha = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

г) Дано: $cos \alpha = \frac{15}{17}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Это четвертая координатная четверть.
1. Найдем $sin \alpha$ из тождества $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$.
Следовательно, $sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{64}{289}} = \pm\frac{8}{17}$.
Поскольку угол $\alpha$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, выбираем значение со знаком минус: $sin \alpha = -\frac{8}{17}$.
2. Найдем тангенс: $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
$tan \alpha = \frac{-\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} = -\frac{8}{15}$.
3. Найдем котангенс: $cot \alpha = \frac{1}{tan \alpha}$.
$cot \alpha = \frac{1}{-\frac{8}{15}} = -\frac{15}{8}$.
Ответ: $sin \alpha = -\frac{8}{17}$, $tan \alpha = -\frac{8}{15}$, $cot \alpha = -\frac{15}{8}$.