Номер 12, страница 12 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 12, страница 12.

Условие.

12. Преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы аргумент соответствующей тригонометрической функции принадлежал промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$:

a) $ \sin \frac{7\pi}{8}, \cos (-\frac{5\pi}{3}), \operatorname{tg} 0,6\pi, \operatorname{ctg} (-1,2\pi); $

б) $ \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5}, \sin (-\frac{5\pi}{9}), \cos 1,8\pi, \operatorname{ctg} 0,9\pi. $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

a)

• Для $ \sin\frac{7\pi}{8} $: Аргумент $\frac{7\pi}{8}$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{8} < \pi $), где синус положителен. Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:
$ \sin\frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin\frac{\pi}{8} $.
Аргумент $\frac{\pi}{8}$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ \sin\frac{\pi}{8} $.

• Для $ \cos(-\frac{5\pi}{3}) $: Косинус является четной функцией, поэтому $\cos(-x) = \cos x$.
$ \cos(-\frac{5\pi}{3}) = \cos(\frac{5\pi}{3}) $.
Аргумент $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой четверти ($ \frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi $), где косинус положителен. Используя формулу приведения $\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha$, получаем:
$ \cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} $.
Аргумент $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ \cos\frac{\pi}{3} $.

• Для $ \text{tg } 0,6\pi $: Аргумент $0,6\pi$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < 0,6\pi < \pi $), где тангенс отрицателен. Используя формулу приведения $\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg } \alpha$, получаем:
$ \text{tg } 0,6\pi = \text{tg}(\pi - 0,4\pi) = -\text{tg } 0,4\pi $.
Аргумент $0,4\pi$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ -\text{tg } 0,4\pi $.

• Для $ \text{ctg } (-1,2\pi) $: Котангенс является нечетной функцией, поэтому $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg } x$.
$ \text{ctg } (-1,2\pi) = -\text{ctg } (1,2\pi) $.
Аргумент $1,2\pi$ находится в третьей четверти ($ \pi < 1,2\pi < \frac{3\pi}{2} $), где котангенс положителен. Используя формулу приведения $\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg } \alpha$, получаем:
$ -\text{ctg } (1,2\pi) = -\text{ctg}(\pi + 0,2\pi) = -\text{ctg } 0,2\pi $.
Аргумент $0,2\pi$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ -\text{ctg } 0,2\pi $.

б)

• Для $ \text{tg}\frac{6\pi}{5} $: Аргумент $\frac{6\pi}{5}$ находится в третьей четверти ($ \pi < \frac{6\pi}{5} < \frac{3\pi}{2} $), где тангенс положителен. Используя формулу приведения $\text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg } \alpha$, получаем:
$ \text{tg}\frac{6\pi}{5} = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{5}) = \text{tg}\frac{\pi}{5} $.
Аргумент $\frac{\pi}{5}$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ \text{tg}\frac{\pi}{5} $.

• Для $ \sin(-\frac{5\pi}{9}) $: Синус является нечетной функцией, поэтому $\sin(-x) = -\sin x$.
$ \sin(-\frac{5\pi}{9}) = -\sin(\frac{5\pi}{9}) $.
Аргумент $\frac{5\pi}{9}$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \pi $). Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$, получаем:
$ -\sin(\frac{5\pi}{9}) = -\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{18}) = -\cos\frac{\pi}{18} $.
Аргумент $\frac{\pi}{18}$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ -\cos\frac{\pi}{18} $.

• Для $ \cos 1,8\pi $: Аргумент $1,8\pi$ находится в четвертой четверти ($ \frac{3\pi}{2} < 1,8\pi < 2\pi $), где косинус положителен. Используя формулу приведения $\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha$, получаем:
$ \cos 1,8\pi = \cos(2\pi - 0,2\pi) = \cos 0,2\pi $.
Аргумент $0,2\pi$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ \cos 0,2\pi $.

• Для $ \text{ctg } 0,9\pi $: Аргумент $0,9\pi$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < 0,9\pi < \pi $), где котангенс отрицателен. Используя формулу приведения $\text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg } \alpha$, получаем:
$ \text{ctg } 0,9\pi = \text{ctg}(\pi - 0,1\pi) = -\text{ctg } 0,1\pi $.
Аргумент $0,1\pi$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $ -\text{ctg } 0,1\pi $.