Номер 23, страница 14 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 23, страница 14.
№23 (с. 14)
Условие. №23 (с. 14)
скриншот условия

23.— Докажите, что при $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ справедливо равенство:
a) $\sin \alpha \sqrt{1+\operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1+\operatorname{tg}^{-2} \alpha}}$;
б) $\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}} - \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} = 2 \operatorname{ctg} \alpha$;
в) $\frac{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sqrt{1-\cos^2 \alpha}}$;
г) $\sqrt{\sin^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha}}$.
Решение 1. №23 (с. 14)


Решение 3. №23 (с. 14)

Решение 5. №23 (с. 14)
а)
Докажем тождество, преобразуя его левую и правую части по отдельности. По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, следовательно, все тригонометрические функции угла $\alpha$ положительны: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tg \alpha > 0$.
Преобразуем левую часть:
$\sin \alpha \sqrt{1 + \tg^2 \alpha} = \sin \alpha \sqrt{\frac{1}{\cos^2 \alpha}}$
Так как $\cos \alpha > 0$, то $\sqrt{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \frac{1}{\cos \alpha}$.
$\sin \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tg \alpha$.
Преобразуем правую часть. Учтем, что $\tg^{-2} \alpha = \frac{1}{\tg^2 \alpha} = \ctg^2 \alpha$.
$\frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1 + \tg^{-2} \alpha}} = \frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1 + \ctg^2 \alpha}} = \frac{1}{\cos \alpha \sqrt{\frac{1}{\sin^2 \alpha}}}$
Так как $\sin \alpha > 0$, то $\sqrt{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} = \frac{1}{\sin \alpha}$.
$\frac{1}{\cos \alpha \cdot \frac{1}{\sin \alpha}} = \frac{1}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tg \alpha$.
Левая и правая части равны $\tg \alpha$, следовательно, равенство справедливо.
Ответ: Равенство доказано.
б)
Преобразуем левую часть равенства. По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, следовательно, $\sin \alpha > 0$.
$\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}} - \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} = \frac{\sqrt{1 + \cos \alpha}}{\sqrt{1 - \cos \alpha}} - \frac{\sqrt{1 - \cos \alpha}}{\sqrt{1 + \cos \alpha}}$
Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)} = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{\sin^2 \alpha}$.
Так как $\sin \alpha > 0$, то $\sqrt{\sin^2 \alpha} = \sin \alpha$.
$\frac{(\sqrt{1 + \cos \alpha})^2 - (\sqrt{1 - \cos \alpha})^2}{\sqrt{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}} = \frac{(1 + \cos \alpha) - (1 - \cos \alpha)}{\sin \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha - 1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2 \cos \alpha}{\sin \alpha}$
Используя определение котангенса $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, получаем:
$\frac{2 \cos \alpha}{\sin \alpha} = 2 \ctg \alpha$.
Левая часть равна правой, следовательно, равенство справедливо.
Ответ: Равенство доказано.
в)
Преобразуем левую и правую части. По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, поэтому $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$.
Левая часть:
$\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} = \frac{\sqrt{\cos^2 \alpha}}{\sin \alpha} = \frac{|\cos \alpha|}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \ctg \alpha$.
Правая часть:
$\frac{\cos \alpha}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}} = \frac{\cos \alpha}{\sqrt{\sin^2 \alpha}} = \frac{\cos \alpha}{|\sin \alpha|} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \ctg \alpha$.
Так как левая и правая части равны $\ctg \alpha$, равенство справедливо.
Ответ: Равенство доказано.
г)
Преобразуем обе части равенства. По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, все тригонометрические функции угла $\alpha$ положительны.
Левая часть:
$\sqrt{\sin^2 \alpha + \tg^2 \alpha \sin^2 \alpha} = \sqrt{\sin^2 \alpha (1 + \tg^2 \alpha)}$
Используя тождество $1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, получаем:
$\sqrt{\sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \sqrt{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \sqrt{\tg^2 \alpha} = |\tg \alpha| = \tg \alpha$.
Правая часть:
$\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \ctg^2 \alpha \cos^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha (1 + \ctg^2 \alpha)}}$
Используя тождество $1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, получаем:
$\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}} = \frac{1}{\sqrt{\ctg^2 \alpha}} = \frac{1}{|\ctg \alpha|} = \frac{1}{\ctg \alpha} = \tg \alpha$.
Левая и правая части равны $\tg \alpha$, следовательно, равенство справедливо.
Ответ: Равенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 23 расположенного на странице 14 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №23 (с. 14), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.