Номер 23, страница 14 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 23, страница 14.

Условие.

23.— Докажите, что при $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ справедливо равенство:

a) $\sin \alpha \sqrt{1+\operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1+\operatorname{tg}^{-2} \alpha}}$;

б) $\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}} - \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} = 2 \operatorname{ctg} \alpha$;

в) $\frac{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sqrt{1-\cos^2 \alpha}}$;

г) $\sqrt{\sin^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Докажем тождество, преобразуя его левую и правую части по отдельности. По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, следовательно, все тригонометрические функции угла $\alpha$ положительны: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tg \alpha > 0$.

Преобразуем левую часть:

$\sin \alpha \sqrt{1 + \tg^2 \alpha} = \sin \alpha \sqrt{\frac{1}{\cos^2 \alpha}}$

Так как $\cos \alpha > 0$, то $\sqrt{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \frac{1}{\cos \alpha}$.

$\sin \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tg \alpha$.

Преобразуем правую часть. Учтем, что $\tg^{-2} \alpha = \frac{1}{\tg^2 \alpha} = \ctg^2 \alpha$.

$\frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1 + \tg^{-2} \alpha}} = \frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1 + \ctg^2 \alpha}} = \frac{1}{\cos \alpha \sqrt{\frac{1}{\sin^2 \alpha}}}$

Так как $\sin \alpha > 0$, то $\sqrt{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} = \frac{1}{\sin \alpha}$.

$\frac{1}{\cos \alpha \cdot \frac{1}{\sin \alpha}} = \frac{1}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tg \alpha$.

Левая и правая части равны $\tg \alpha$, следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Преобразуем левую часть равенства. По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, следовательно, $\sin \alpha > 0$.

$\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}} - \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} = \frac{\sqrt{1 + \cos \alpha}}{\sqrt{1 - \cos \alpha}} - \frac{\sqrt{1 - \cos \alpha}}{\sqrt{1 + \cos \alpha}}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)} = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{\sin^2 \alpha}$.

Так как $\sin \alpha > 0$, то $\sqrt{\sin^2 \alpha} = \sin \alpha$.

$\frac{(\sqrt{1 + \cos \alpha})^2 - (\sqrt{1 - \cos \alpha})^2}{\sqrt{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}} = \frac{(1 + \cos \alpha) - (1 - \cos \alpha)}{\sin \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha - 1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2 \cos \alpha}{\sin \alpha}$

Используя определение котангенса $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, получаем:

$\frac{2 \cos \alpha}{\sin \alpha} = 2 \ctg \alpha$.

Левая часть равна правой, следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.

в)

Преобразуем левую и правую части. По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, поэтому $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$.

Левая часть:

$\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} = \frac{\sqrt{\cos^2 \alpha}}{\sin \alpha} = \frac{|\cos \alpha|}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \ctg \alpha$.

Правая часть:

$\frac{\cos \alpha}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}} = \frac{\cos \alpha}{\sqrt{\sin^2 \alpha}} = \frac{\cos \alpha}{|\sin \alpha|} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \ctg \alpha$.

Так как левая и правая части равны $\ctg \alpha$, равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.

г)

Преобразуем обе части равенства. По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, все тригонометрические функции угла $\alpha$ положительны.

Левая часть:

$\sqrt{\sin^2 \alpha + \tg^2 \alpha \sin^2 \alpha} = \sqrt{\sin^2 \alpha (1 + \tg^2 \alpha)}$

Используя тождество $1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, получаем:

$\sqrt{\sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \sqrt{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \sqrt{\tg^2 \alpha} = |\tg \alpha| = \tg \alpha$.

Правая часть:

$\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \ctg^2 \alpha \cos^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha (1 + \ctg^2 \alpha)}}$

Используя тождество $1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, получаем:

$\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}} = \frac{1}{\sqrt{\ctg^2 \alpha}} = \frac{1}{|\ctg \alpha|} = \frac{1}{\ctg \alpha} = \tg \alpha$.

Левая и правая части равны $\tg \alpha$, следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.