Номер 21, страница 13 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 21, страница 13.

Условие.

Найдите значения выражений (21–22).

21.

а) $3 \sin \left( 2\alpha - \frac{\pi}{4} \right) + 2 \cos (3\alpha - \pi)$, если $\alpha = \frac{\pi}{4};$

б) $\sin^2 \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right) + 3 \tan \left( \frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{2} \right)$, если $\alpha = \frac{2\pi}{3};$

в) $4 \cos \left( 3\alpha - \frac{\pi}{6} \right) + \cot \left( \alpha + \frac{\pi}{12} \right)$, если $\alpha = \frac{\pi}{6};$

г) $\cos \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) \tan^2 \left( 2\alpha + \frac{\pi}{2} \right)$, если $\alpha = -\frac{\pi}{6}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы найти значение выражения $3 \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right) + 2 \cos(3\alpha - \pi)$ при $\alpha = \frac{\pi}{4}$, подставим это значение в выражение:
$3 \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) + 2 \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{4} - \pi\right)$
Упростим выражения в скобках:
$2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$
$3 \cdot \frac{\pi}{4} - \pi = \frac{3\pi}{4} - \frac{4\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$
Теперь выражение выглядит так:
$3 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2 \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
Так как косинус — чётная функция ($\cos(-x) = \cos(x)$), то $\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
Используя табличные значения $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

б) Чтобы найти значение выражения $\sin^2\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) + 3 \tg\left(\frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{2}\right)$ при $\alpha = \frac{2\pi}{3}$, подставим значение $\alpha$ в первое слагаемое и упростим второе слагаемое.
Упростим аргумент тангенса:
$\frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{2} = \frac{5\pi}{4} - \frac{6\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$
Второе слагаемое: $3 \tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)$. Так как тангенс — нечётная функция ($\tg(-x) = -\tg(x)$), то $3 \tg\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -3 \tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = -3 \cdot 1 = -3$.
Теперь рассмотрим первое слагаемое. Подставим $\alpha = \frac{2\pi}{3}$:
$\sin^2\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right)$
Используя табличное значение $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$
Сложим значения обоих слагаемых:
$\frac{3}{4} + (-3) = \frac{3}{4} - 3 = \frac{3-12}{4} = -\frac{9}{4}$.
Ответ: $-\frac{9}{4}$

в) Чтобы найти значение выражения $4 \cos\left(3\alpha - \frac{\pi}{6}\right) + \text{ctg}\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right)$ при $\alpha = \frac{\pi}{6}$, подставим это значение в выражение:
$4 \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + \text{ctg}\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12}\right)$
Упростим аргументы функций:
$3 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$
Выражение принимает вид:
$4 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$
Используя табличные значения $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$, вычисляем:
$4 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 2 + 1 = 3$.
Ответ: $3$

г) Чтобы найти значение выражения $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) \tg^2\left(2\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$ при $\alpha = -\frac{\pi}{6}$, подставим это значение в выражение:
$\cos\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) \tg^2\left(2\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{2}\right)$
Упростим аргументы функций:
$-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$
$2\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$
Выражение принимает вид:
$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \tg^2\left(\frac{\pi}{6}\right)$
Используя табличные значения $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\tg\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$