Номер 22, страница 13 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 22, страница 13.

Условие.

22. a) $\frac{1 + \text{tg } \alpha}{1 + \text{ctg } \alpha}$, если $\text{cos } \alpha = \frac{12}{13}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

б) $\frac{\text{sin } \alpha + \text{cos } \alpha}{\text{sin } \alpha - \text{cos } \alpha}$, если $\text{tg } \alpha = \frac{5}{4}$;

в) $\frac{\text{cos } \alpha + \text{ctg } \alpha}{\text{ctg } \alpha}$, если $\text{cos } \alpha = -\frac{1}{3}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

г) $\text{sin}^2 \alpha - \text{cos}^2 \beta$, если $\text{cos}^2 \alpha - \text{sin}^2 \beta = 0,5$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения значения выражения $\frac{1 + \text{tg} \, \alpha}{1 + \text{ctg} \, \alpha}$ сначала упростим его, используя тождество $\text{ctg} \, \alpha = \frac{1}{\text{tg} \, \alpha}$:

$\frac{1 + \text{tg} \, \alpha}{1 + \text{ctg} \, \alpha} = \frac{1 + \text{tg} \, \alpha}{1 + \frac{1}{\text{tg} \, \alpha}} = \frac{1 + \text{tg} \, \alpha}{\frac{\text{tg} \, \alpha + 1}{\text{tg} \, \alpha}} = (1 + \text{tg} \, \alpha) \cdot \frac{\text{tg} \, \alpha}{\text{tg} \, \alpha + 1} = \text{tg} \, \alpha$.

Таким образом, задача сводится к нахождению $\text{tg} \, \alpha$.

По условию $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Этот интервал соответствует IV координатной четверти, где $\sin \alpha < 0$.

Найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$.

Учитывая, что $\alpha$ находится в IV четверти, выбираем отрицательное значение для синуса:

$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.

Теперь можем найти тангенс:

$\text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12}$.

Следовательно, значение исходного выражения равно $-\frac{5}{12}$.

Ответ: $-\frac{5}{12}$

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$ при известном $\text{tg} \, \alpha = \frac{5}{4}$, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos \alpha$. Это преобразование допустимо, так как если бы $\cos \alpha = 0$, тангенс был бы не определен, что противоречит условию.

$\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\text{tg} \, \alpha + 1}{\text{tg} \, \alpha - 1}$.

Подставим данное значение $\text{tg} \, \alpha = \frac{5}{4}$ в полученное выражение:

$\frac{\frac{5}{4} + 1}{\frac{5}{4} - 1} = \frac{\frac{5+4}{4}}{\frac{5-4}{4}} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{4}} = 9$.

Ответ: $9$

в) Упростим исходное выражение $\frac{\cos \alpha + \text{ctg} \, \alpha}{\text{ctg} \, \alpha}$, разделив почленно числитель на знаменатель:

$\frac{\cos \alpha + \text{ctg} \, \alpha}{\text{ctg} \, \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\text{ctg} \, \alpha} + \frac{\text{ctg} \, \alpha}{\text{ctg} \, \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} + 1 = \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 1 = \sin \alpha + 1$.

Теперь необходимо найти $\sin \alpha$.

По условию $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Этот интервал соответствует III координатной четверти, где $\sin \alpha < 0$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, найдем $\sin \alpha$:

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

Так как $\alpha$ находится в III четверти, $\sin \alpha$ отрицателен:

$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Подставляем найденное значение в упрощенное выражение:

$1 + \sin \alpha = 1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}$

г) Требуется найти значение выражения $\sin^2 \alpha - \cos^2 \beta$ при условии, что $\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta = 0,5$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Из него мы можем выразить $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ и $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$.

Подставим эти выражения в искомую разность:

$\sin^2 \alpha - \cos^2 \beta = (1 - \cos^2 \alpha) - (1 - \sin^2 \beta) = 1 - \cos^2 \alpha - 1 + \sin^2 \beta = \sin^2 \beta - \cos^2 \alpha$.

Теперь вынесем знак минус за скобки, чтобы получить выражение из условия задачи:

$\sin^2 \beta - \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta)$.

Так как по условию $\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta = 0,5$, то значение искомого выражения будет:

$-(0,5) = -0,5$.

Ответ: $-0,5$