Номер 24, страница 14 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 24, страница 14.
№24 (с. 14)
Условие. №24 (с. 14)
скриншот условия

Докажите тождества (24–26).
24.—
a) $ \sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) $;
б) $ \frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)}+\frac{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)}=2 $.
Решение 1. №24 (с. 14)

Решение 3. №24 (с. 14)


Решение 5. №24 (с. 14)
а)
Для доказательства тождества $ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) $ воспользуемся одной из формул приведения: $ \sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x) $.
Преобразуем левую часть равенства, приняв $ x = \frac{\pi}{4} + \alpha $:
$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right) $
Раскроем скобки в аргументе косинуса и упростим выражение:
$ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $
В результате преобразования левая часть стала равна правой части.
Ответ: Тождество доказано.
б)
Докажем тождество $ \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg(\alpha + \beta)} + \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{\tg(\alpha - \beta)} = 2 $. Для этого преобразуем левую часть, используя формулы тангенса суммы и разности углов:
$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta} $
$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta} $
Подставим эти выражения в знаменатели дробей в левой части тождества.
Преобразуем первое слагаемое:
$ \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg(\alpha + \beta)} = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta}} = (\tg\alpha + \tg\beta) \cdot \frac{1 - \tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha + \tg\beta} $
При условии, что выражение определено ($ \tg(\alpha + \beta) \neq 0 $, а значит и $ \tg\alpha + \tg\beta \neq 0 $), можно сократить дробь на $ (\tg\alpha + \tg\beta) $. Получаем:
$ 1 - \tg\alpha \tg\beta $
Преобразуем второе слагаемое аналогичным образом:
$ \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{\tg(\alpha - \beta)} = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{\frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta}} = (\tg\alpha - \tg\beta) \cdot \frac{1 + \tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha - \tg\beta} $
При условии, что $ \tg(\alpha - \beta) \neq 0 $ (и, соответственно, $ \tg\alpha - \tg\beta \neq 0 $), сокращаем на $ (\tg\alpha - \tg\beta) $. Получаем:
$ 1 + \tg\alpha \tg\beta $
Теперь сложим полученные результаты:
$ (1 - \tg\alpha \tg\beta) + (1 + \tg\alpha \tg\beta) = 1 - \tg\alpha \tg\beta + 1 + \tg\alpha \tg\beta = 2 $
Левая часть тождества равна 2, что соответствует правой части.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 24 расположенного на странице 14 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24 (с. 14), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.