Номер 24, страница 14 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 24, страница 14.

Условие.

Докажите тождества (24–26).

24.—

a) $ \sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) $;

б) $ \frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)}+\frac{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)}=2 $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Для доказательства тождества $ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) $ воспользуемся одной из формул приведения: $ \sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x) $.

Преобразуем левую часть равенства, приняв $ x = \frac{\pi}{4} + \alpha $:

$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right) $

Раскроем скобки в аргументе косинуса и упростим выражение:

$ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $

В результате преобразования левая часть стала равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем тождество $ \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg(\alpha + \beta)} + \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{\tg(\alpha - \beta)} = 2 $. Для этого преобразуем левую часть, используя формулы тангенса суммы и разности углов:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta} $

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta} $

Подставим эти выражения в знаменатели дробей в левой части тождества.

Преобразуем первое слагаемое:

$ \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg(\alpha + \beta)} = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta}} = (\tg\alpha + \tg\beta) \cdot \frac{1 - \tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha + \tg\beta} $

При условии, что выражение определено ($ \tg(\alpha + \beta) \neq 0 $, а значит и $ \tg\alpha + \tg\beta \neq 0 $), можно сократить дробь на $ (\tg\alpha + \tg\beta) $. Получаем:

$ 1 - \tg\alpha \tg\beta $

Преобразуем второе слагаемое аналогичным образом:

$ \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{\tg(\alpha - \beta)} = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{\frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta}} = (\tg\alpha - \tg\beta) \cdot \frac{1 + \tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha - \tg\beta} $

При условии, что $ \tg(\alpha - \beta) \neq 0 $ (и, соответственно, $ \tg\alpha - \tg\beta \neq 0 $), сокращаем на $ (\tg\alpha - \tg\beta) $. Получаем:

$ 1 + \tg\alpha \tg\beta $

Теперь сложим полученные результаты:

$ (1 - \tg\alpha \tg\beta) + (1 + \tg\alpha \tg\beta) = 1 - \tg\alpha \tg\beta + 1 + \tg\alpha \tg\beta = 2 $

Левая часть тождества равна 2, что соответствует правой части.

Ответ: Тождество доказано.