Номер 24, страница 14 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 24, страница 14.

№24 (с. 14)
Условие. №24 (с. 14)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 14, номер 24, Условие

Докажите тождества (24–26).

24.—

a) $ \sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) $;

б) $ \frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)}+\frac{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)}=2 $.

Решение 1. №24 (с. 14)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 14, номер 24, Решение 1
Решение 3. №24 (с. 14)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 14, номер 24, Решение 3 Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 14, номер 24, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 5. №24 (с. 14)

а)

Для доказательства тождества $ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) $ воспользуемся одной из формул приведения: $ \sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x) $.

Преобразуем левую часть равенства, приняв $ x = \frac{\pi}{4} + \alpha $:

$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right) $

Раскроем скобки в аргументе косинуса и упростим выражение:

$ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $

В результате преобразования левая часть стала равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем тождество $ \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg(\alpha + \beta)} + \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{\tg(\alpha - \beta)} = 2 $. Для этого преобразуем левую часть, используя формулы тангенса суммы и разности углов:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta} $

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta} $

Подставим эти выражения в знаменатели дробей в левой части тождества.

Преобразуем первое слагаемое:

$ \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg(\alpha + \beta)} = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta}} = (\tg\alpha + \tg\beta) \cdot \frac{1 - \tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha + \tg\beta} $

При условии, что выражение определено ($ \tg(\alpha + \beta) \neq 0 $, а значит и $ \tg\alpha + \tg\beta \neq 0 $), можно сократить дробь на $ (\tg\alpha + \tg\beta) $. Получаем:

$ 1 - \tg\alpha \tg\beta $

Преобразуем второе слагаемое аналогичным образом:

$ \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{\tg(\alpha - \beta)} = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{\frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta}} = (\tg\alpha - \tg\beta) \cdot \frac{1 + \tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha - \tg\beta} $

При условии, что $ \tg(\alpha - \beta) \neq 0 $ (и, соответственно, $ \tg\alpha - \tg\beta \neq 0 $), сокращаем на $ (\tg\alpha - \tg\beta) $. Получаем:

$ 1 + \tg\alpha \tg\beta $

Теперь сложим полученные результаты:

$ (1 - \tg\alpha \tg\beta) + (1 + \tg\alpha \tg\beta) = 1 - \tg\alpha \tg\beta + 1 + \tg\alpha \tg\beta = 2 $

Левая часть тождества равна 2, что соответствует правой части.

Ответ: Тождество доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 24 расположенного на странице 14 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24 (с. 14), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.