Номер 26, страница 14 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 26, страница 14.

Условие.

26. a) $ \cos t = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{t}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{t}{2}} $;

б) $ \sin \beta = \frac{2 \text{tg} \frac{\beta}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{\beta}{2}} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Докажем тождество $ \cos t = \frac{1 - \tg^2 \frac{t}{2}}{1 + \tg^2 \frac{t}{2}} $.

Для этого преобразуем правую часть выражения, используя определение тангенса $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $.

Заменим $ \tg^2 \frac{t}{2} $ на $ \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}} $:

$$ \frac{1 - \tg^2 \frac{t}{2}}{1 + \tg^2 \frac{t}{2}} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}}} $$

Чтобы избавиться от многоэтажной дроби, умножим числитель и знаменатель на $ \cos^2 \frac{t}{2} $. Это эквивалентно приведению к общему знаменателю в числителе и знаменателе основной дроби.

$$ \frac{\left(1 - \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}}\right) \cdot \cos^2 \frac{t}{2}}{\left(1 + \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}}\right) \cdot \cos^2 \frac{t}{2}} = \frac{\cos^2 \frac{t}{2} - \sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2}} $$

Теперь применим известные тригонометрические формулы:

1. В числителе используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. Для $ \alpha = \frac{t}{2} $ получаем $ \cos^2 \frac{t}{2} - \sin^2 \frac{t}{2} = \cos\left(2 \cdot \frac{t}{2}\right) = \cos t $.

2. В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество: $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $. Для $ \alpha = \frac{t}{2} $ получаем $ \cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2} = 1 $.

Подставляя полученные выражения обратно в дробь, имеем:

$$ \frac{\cos t}{1} = \cos t $$

Таким образом, правая часть тождества равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ \cos t = \frac{1 - \tg^2 \frac{t}{2}}{1 + \tg^2 \frac{t}{2}} $ доказано.

б) Докажем тождество $ \sin \beta = \frac{2 \tg \frac{\beta}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\beta}{2}} $.

Преобразуем правую часть выражения. Заменим $ \tg \frac{\beta}{2} $ на $ \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}} $ и $ \tg^2 \frac{\beta}{2} $ на $ \frac{\sin^2 \frac{\beta}{2}}{\cos^2 \frac{\beta}{2}} $.

$$ \frac{2 \tg \frac{\beta}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\beta}{2}} = \frac{2 \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{\beta}{2}}{\cos^2 \frac{\beta}{2}}} $$

Приведем знаменатель к общему знаменателю $ \cos^2 \frac{\beta}{2} $:

$$ \frac{2 \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{\beta}{2} + \sin^2 \frac{\beta}{2}}{\cos^2 \frac{\beta}{2}}} $$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $ \cos^2 \frac{\beta}{2} + \sin^2 \frac{\beta}{2} = 1 $. Подставим это значение в знаменатель:

$$ \frac{2 \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}}{\frac{1}{\cos^2 \frac{\beta}{2}}} $$

Теперь разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):

$$ 2 \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}} \cdot \cos^2 \frac{\beta}{2} = 2 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} $$

Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. Для $ \alpha = \frac{\beta}{2} $ получаем:

$$ 2 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} = \sin\left(2 \cdot \frac{\beta}{2}\right) = \sin \beta $$

Правая часть тождества равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ \sin \beta = \frac{2 \tg \frac{\beta}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\beta}{2}} $ доказано.