Номер 26, страница 14 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 26, страница 14.
№26 (с. 14)
Условие. №26 (с. 14)
скриншот условия

26. a) $ \cos t = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{t}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{t}{2}} $;
б) $ \sin \beta = \frac{2 \text{tg} \frac{\beta}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{\beta}{2}} $.
Решение 1. №26 (с. 14)

Решение 3. №26 (с. 14)

Решение 5. №26 (с. 14)
а) Докажем тождество $ \cos t = \frac{1 - \tg^2 \frac{t}{2}}{1 + \tg^2 \frac{t}{2}} $.
Для этого преобразуем правую часть выражения, используя определение тангенса $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $.
Заменим $ \tg^2 \frac{t}{2} $ на $ \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}} $:
$$ \frac{1 - \tg^2 \frac{t}{2}}{1 + \tg^2 \frac{t}{2}} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}}} $$
Чтобы избавиться от многоэтажной дроби, умножим числитель и знаменатель на $ \cos^2 \frac{t}{2} $. Это эквивалентно приведению к общему знаменателю в числителе и знаменателе основной дроби.
$$ \frac{\left(1 - \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}}\right) \cdot \cos^2 \frac{t}{2}}{\left(1 + \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}}\right) \cdot \cos^2 \frac{t}{2}} = \frac{\cos^2 \frac{t}{2} - \sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2}} $$
Теперь применим известные тригонометрические формулы:
1. В числителе используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. Для $ \alpha = \frac{t}{2} $ получаем $ \cos^2 \frac{t}{2} - \sin^2 \frac{t}{2} = \cos\left(2 \cdot \frac{t}{2}\right) = \cos t $.
2. В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество: $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $. Для $ \alpha = \frac{t}{2} $ получаем $ \cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2} = 1 $.
Подставляя полученные выражения обратно в дробь, имеем:
$$ \frac{\cos t}{1} = \cos t $$
Таким образом, правая часть тождества равна левой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество $ \cos t = \frac{1 - \tg^2 \frac{t}{2}}{1 + \tg^2 \frac{t}{2}} $ доказано.
б) Докажем тождество $ \sin \beta = \frac{2 \tg \frac{\beta}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\beta}{2}} $.
Преобразуем правую часть выражения. Заменим $ \tg \frac{\beta}{2} $ на $ \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}} $ и $ \tg^2 \frac{\beta}{2} $ на $ \frac{\sin^2 \frac{\beta}{2}}{\cos^2 \frac{\beta}{2}} $.
$$ \frac{2 \tg \frac{\beta}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\beta}{2}} = \frac{2 \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{\beta}{2}}{\cos^2 \frac{\beta}{2}}} $$
Приведем знаменатель к общему знаменателю $ \cos^2 \frac{\beta}{2} $:
$$ \frac{2 \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{\beta}{2} + \sin^2 \frac{\beta}{2}}{\cos^2 \frac{\beta}{2}}} $$
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $ \cos^2 \frac{\beta}{2} + \sin^2 \frac{\beta}{2} = 1 $. Подставим это значение в знаменатель:
$$ \frac{2 \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}}{\frac{1}{\cos^2 \frac{\beta}{2}}} $$
Теперь разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):
$$ 2 \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}} \cdot \cos^2 \frac{\beta}{2} = 2 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} $$
Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. Для $ \alpha = \frac{\beta}{2} $ получаем:
$$ 2 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} = \sin\left(2 \cdot \frac{\beta}{2}\right) = \sin \beta $$
Правая часть тождества равна левой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество $ \sin \beta = \frac{2 \tg \frac{\beta}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\beta}{2}} $ доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 26 расположенного на странице 14 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №26 (с. 14), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.