Номер 32, страница 20 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 32, страница 20.

Условие.

32. Найдите значения синуса и косинуса $\alpha$, если $\alpha$ равно:

а) $4\pi$, $-\pi$;

б) $\frac{5\pi}{2}$, $-5.5\pi$;

в) $\pi$, $-2\pi$;

г) $\frac{9\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2}$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а) $4\pi, -\pi$

Для нахождения значений синуса и косинуса воспользуемся свойствами тригонометрических функций и единичной окружностью.

1. Для $\alpha = 4\pi$:

Функции синуса и косинуса являются периодическими с периодом $2\pi$. Это значит, что их значения повторяются через каждый полный оборот. Угол $4\pi$ соответствует двум полным оборотам ($4\pi = 2 \cdot 2\pi$). Следовательно, значения синуса и косинуса для угла $4\pi$ будут такими же, как для угла $0$.

$\sin(4\pi) = \sin(0 + 2 \cdot 2\pi) = \sin(0) = 0$

$\cos(4\pi) = \cos(0 + 2 \cdot 2\pi) = \cos(0) = 1$

2. Для $\alpha = -\pi$:

Для отрицательных углов можно использовать свойства четности: синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin(x)$), а косинус — четная ($\cos(-x) = \cos(x)$).

$\sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$

$\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$

Ответ: для $\alpha = 4\pi$: $\sin(4\pi) = 0$, $\cos(4\pi) = 1$; для $\alpha = -\pi$: $\sin(-\pi) = 0$, $\cos(-\pi) = -1$.

б) $\frac{5\pi}{2}, -5,5\pi$

1. Для $\alpha = \frac{5\pi}{2}$:

Представим угол в виде суммы целого числа оборотов и угла в пределах от $0$ до $2\pi$.

$\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$

Используя периодичность функций:

$\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

2. Для $\alpha = -5,5\pi$:

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $-5,5\pi = -\frac{11\pi}{2}$. Чтобы найти значение, можно прибавить к углу такое количество полных оборотов ($2\pi$), чтобы получить удобный для вычисления угол. Прибавим $6\pi = 3 \cdot 2\pi = \frac{12\pi}{2}$.

$-\frac{11\pi}{2} + 6\pi = -\frac{11\pi}{2} + \frac{12\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

Так как добавление целого числа полных оборотов не меняет значения синуса и косинуса:

$\sin(-5,5\pi) = \sin(-\frac{11\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(-5,5\pi) = \cos(-\frac{11\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Ответ: для $\alpha = \frac{5\pi}{2}$: $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{5\pi}{2}) = 0$; для $\alpha = -5,5\pi$: $\sin(-5,5\pi) = 1$, $\cos(-5,5\pi) = 0$.

в) $\pi, -2\pi$

1. Для $\alpha = \pi$:

Это табличные значения, которые соответствуют точке $(-1, 0)$ на единичной окружности.

$\sin(\pi) = 0$

$\cos(\pi) = -1$

2. Для $\alpha = -2\pi$:

Угол $-2\pi$ соответствует одному полному обороту по часовой стрелке, что приводит в ту же точку на единичной окружности, что и угол $0$.

$\sin(-2\pi) = \sin(0) = 0$

$\cos(-2\pi) = \cos(0) = 1$

Ответ: для $\alpha = \pi$: $\sin(\pi) = 0$, $\cos(\pi) = -1$; для $\alpha = -2\pi$: $\sin(-2\pi) = 0$, $\cos(-2\pi) = 1$.

г) $\frac{9\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}$

1. Для $\alpha = \frac{9\pi}{2}$:

Выделим целое число оборотов:

$\frac{9\pi}{2} = \frac{8\pi + \pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}$

В силу периодичности:

$\sin(\frac{9\pi}{2}) = \sin(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(\frac{9\pi}{2}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

2. Для $\alpha = -\frac{3\pi}{2}$:

Прибавим к углу один полный оборот $2\pi$, чтобы получить положительный угол.

$-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = -\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

Следовательно:

$\sin(-\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Ответ: для $\alpha = \frac{9\pi}{2}$: $\sin(\frac{9\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{9\pi}{2}) = 0$; для $\alpha = -\frac{3\pi}{2}$: $\sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$, $\cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0$.