Номер 32, страница 20 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 32, страница 20.
№32 (с. 20)
Условие. №32 (с. 20)
скриншот условия

32. Найдите значения синуса и косинуса $\alpha$, если $\alpha$ равно:
а) $4\pi$, $-\pi$;
б) $\frac{5\pi}{2}$, $-5.5\pi$;
в) $\pi$, $-2\pi$;
г) $\frac{9\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2}$.
Решение 1. №32 (с. 20)

Решение 4. №32 (с. 20)

Решение 5. №32 (с. 20)
а) $4\pi, -\pi$
Для нахождения значений синуса и косинуса воспользуемся свойствами тригонометрических функций и единичной окружностью.
1. Для $\alpha = 4\pi$:
Функции синуса и косинуса являются периодическими с периодом $2\pi$. Это значит, что их значения повторяются через каждый полный оборот. Угол $4\pi$ соответствует двум полным оборотам ($4\pi = 2 \cdot 2\pi$). Следовательно, значения синуса и косинуса для угла $4\pi$ будут такими же, как для угла $0$.
$\sin(4\pi) = \sin(0 + 2 \cdot 2\pi) = \sin(0) = 0$
$\cos(4\pi) = \cos(0 + 2 \cdot 2\pi) = \cos(0) = 1$
2. Для $\alpha = -\pi$:
Для отрицательных углов можно использовать свойства четности: синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin(x)$), а косинус — четная ($\cos(-x) = \cos(x)$).
$\sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$
$\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$
Ответ: для $\alpha = 4\pi$: $\sin(4\pi) = 0$, $\cos(4\pi) = 1$; для $\alpha = -\pi$: $\sin(-\pi) = 0$, $\cos(-\pi) = -1$.
б) $\frac{5\pi}{2}, -5,5\pi$
1. Для $\alpha = \frac{5\pi}{2}$:
Представим угол в виде суммы целого числа оборотов и угла в пределах от $0$ до $2\pi$.
$\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$
Используя периодичность функций:
$\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
$\cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
2. Для $\alpha = -5,5\pi$:
Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $-5,5\pi = -\frac{11\pi}{2}$. Чтобы найти значение, можно прибавить к углу такое количество полных оборотов ($2\pi$), чтобы получить удобный для вычисления угол. Прибавим $6\pi = 3 \cdot 2\pi = \frac{12\pi}{2}$.
$-\frac{11\pi}{2} + 6\pi = -\frac{11\pi}{2} + \frac{12\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$
Так как добавление целого числа полных оборотов не меняет значения синуса и косинуса:
$\sin(-5,5\pi) = \sin(-\frac{11\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
$\cos(-5,5\pi) = \cos(-\frac{11\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
Ответ: для $\alpha = \frac{5\pi}{2}$: $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{5\pi}{2}) = 0$; для $\alpha = -5,5\pi$: $\sin(-5,5\pi) = 1$, $\cos(-5,5\pi) = 0$.
в) $\pi, -2\pi$
1. Для $\alpha = \pi$:
Это табличные значения, которые соответствуют точке $(-1, 0)$ на единичной окружности.
$\sin(\pi) = 0$
$\cos(\pi) = -1$
2. Для $\alpha = -2\pi$:
Угол $-2\pi$ соответствует одному полному обороту по часовой стрелке, что приводит в ту же точку на единичной окружности, что и угол $0$.
$\sin(-2\pi) = \sin(0) = 0$
$\cos(-2\pi) = \cos(0) = 1$
Ответ: для $\alpha = \pi$: $\sin(\pi) = 0$, $\cos(\pi) = -1$; для $\alpha = -2\pi$: $\sin(-2\pi) = 0$, $\cos(-2\pi) = 1$.
г) $\frac{9\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}$
1. Для $\alpha = \frac{9\pi}{2}$:
Выделим целое число оборотов:
$\frac{9\pi}{2} = \frac{8\pi + \pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}$
В силу периодичности:
$\sin(\frac{9\pi}{2}) = \sin(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
$\cos(\frac{9\pi}{2}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
2. Для $\alpha = -\frac{3\pi}{2}$:
Прибавим к углу один полный оборот $2\pi$, чтобы получить положительный угол.
$-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = -\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$
Следовательно:
$\sin(-\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
$\cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
Ответ: для $\alpha = \frac{9\pi}{2}$: $\sin(\frac{9\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{9\pi}{2}) = 0$; для $\alpha = -\frac{3\pi}{2}$: $\sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$, $\cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 32 расположенного на странице 20 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №32 (с. 20), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.