Номер 35, страница 20 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 35, страница 20.

Условие.

35. На миллиметровой бумаге постройте единичную окружность, а затем центральный угол $\alpha$, такой, что:

a) $\sin \alpha = -0,5;$

б) $\cos \alpha = 0,3;$

в) $\cos \alpha = -0,4;$

г) $\operatorname{tg} \alpha = 2.$

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи сначала построим единичную окружность в декартовой системе координат. Это окружность с центром в начале координат $O(0,0)$ и радиусом $R=1$. Точка $P$, лежащая на окружности и образующая с положительным направлением оси Ox угол $\alpha$, имеет координаты $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. На миллиметровой бумаге удобно выбрать масштаб, при котором радиус окружности будет равен, например, 10 клеткам (или 5 см), чтобы 1 единица соответствовала 10 клеткам (5 см). Это позволит точно откладывать десятые доли единицы.

а) sin α = -0,5;

По определению, синус угла $\alpha$ на единичной окружности равен ординате (координате $y$) точки пересечения конечной стороны угла с окружностью. Таким образом, нам нужно построить угол $\alpha$, для которого координата $y = -0,5$.
1. Постройте единичную окружность с центром в начале координат.
2. На оси ординат (оси $Oy$) отметьте точку со значением $-0,5$. Если радиус окружности 10 клеток, это будет 5 клеток ниже оси $Ox$.
3. Через эту точку проведите горизонтальную прямую, параллельную оси $Ox$. Уравнение этой прямой $y = -0,5$.
4. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках, $P_1$ и $P_2$, расположенных в III и IV координатных четвертях.
5. Центральный угол $\alpha$ — это угол, образованный положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$) и лучом, проведенным из начала координат в одну из этих точек (например, $OP_1$ или $OP_2$).

Ответ: Построение заключается в нахождении точек пересечения прямой $y = -0,5$ с единичной окружностью и проведении радиус-вектора из начала координат в одну из этих точек. Полученный угол и будет искомым.

б) cos α = 0,3;

Косинус угла $\alpha$ на единичной окружности равен абсциссе (координате $x$) точки пересечения. Нам нужно найти угол $\alpha$, для которого $x = 0,3$.
1. Постройте единичную окружность.
2. На оси абсцисс (оси $Ox$) отметьте точку со значением $0,3$. Если радиус 10 клеток, это будет 3 клетки вправо от оси $Oy$.
3. Через эту точку проведите вертикальную прямую, параллельную оси $Oy$. Уравнение этой прямой $x = 0,3$.
4. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках, $P_1$ и $P_2$, расположенных в I и IV координатных четвертях.
5. Соедините начало координат с одной из этих точек (например, $P_1$). Полученный луч $OP_1$ образует с положительным направлением оси $Ox$ искомый угол $\alpha$.

Ответ: Построение заключается в нахождении точек пересечения прямой $x = 0,3$ с единичной окружностью и проведении радиус-вектора из начала координат в одну из этих точек.

в) cos α = -0,4;

Аналогично предыдущему пункту, ищем угол $\alpha$, для которого абсцисса точки на окружности $x = -0,4$.
1. Постройте единичную окружность.
2. На оси абсцисс (оси $Ox$) отметьте точку со значением $-0,4$. Если радиус 10 клеток, это будет 4 клетки влево от оси $Oy$.
3. Через эту точку проведите вертикальную прямую $x = -0,4$.
4. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках, $P_1$ и $P_2$, расположенных во II и III координатных четвертях.
5. Соедините начало координат с одной из этих точек (например, $P_1$ во второй четверти). Полученный луч $OP_1$ образует с положительным направлением оси $Ox$ искомый угол $\alpha$.

Ответ: Построение заключается в нахождении точек пересечения прямой $x = -0,4$ с единичной окружностью и проведении радиус-вектора из начала координат в одну из этих точек.

г) tg α = 2.

Тангенс угла $\alpha$ можно геометрически представить с помощью оси тангенсов. Ось тангенсов — это касательная к единичной окружности в точке $(1, 0)$.
1. Постройте единичную окружность и проведите касательную к ней в точке $(1, 0)$. Эта касательная является прямой $x=1$.
2. На этой оси тангенсов отложите от оси $Ox$ вверх отрезок длиной 2. Конец этого отрезка будет точка $T$ с координатами $(1, 2)$. (Если радиус 10 клеток, то нужно отложить 20 клеток вверх от точки $(1,0)$).
3. Проведите прямую через начало координат $O(0,0)$ и точку $T(1,2)$.
4. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках: $P_1$ в I четверти и $P_2$ в III четверти.
5. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP_1$, является искомым углом $\alpha$.

Ответ: Построение заключается в том, чтобы на касательной $x=1$ к единичной окружности отметить точку с ординатой 2, провести через нее и начало координат прямую и найти угол, который эта прямая образует с положительным направлением оси $Ox$.