Номер 34, страница 20 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 34, страница 20.

Условие.

34.— На единичной окружности отметьте точку $P_{\alpha} (x; y)$, координаты которой удовлетворяют условию:

а) $y = 0,5, x > 0;$

б) $x = -\frac{1}{2}, y > 0;$

в) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}, y > 0;$

г) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}, x < 0.$

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения координат точки $P_\alpha(x; y)$ на единичной окружности используется её уравнение: $x^2 + y^2 = 1$. Мы подставим известные значения координат в это уравнение, найдем возможные значения для неизвестной координаты, а затем выберем подходящее, используя дополнительное условие (неравенство).

а) Даны условия $y = 0,5$ и $x > 0$.
Подставим значение $y = 0,5 = \frac{1}{2}$ в уравнение единичной окружности:
$x^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1$
$x^2 + \frac{1}{4} = 1$
$x^2 = 1 - \frac{1}{4}$
$x^2 = \frac{3}{4}$
$x = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
Согласно условию $x > 0$, выбираем положительное значение $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, искомая точка $P_\alpha$ имеет координаты $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$. Эта точка находится в первой координатной четверти.
Ответ: $P_\alpha\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$.

б) Даны условия $x = -\frac{1}{2}$ и $y > 0$.
Подставим значение $x = -\frac{1}{2}$ в уравнение единичной окружности:
$\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = 1$
$\frac{1}{4} + y^2 = 1$
$y^2 = 1 - \frac{1}{4}$
$y^2 = \frac{3}{4}$
$y = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
Согласно условию $y > 0$, выбираем положительное значение $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, искомая точка $P_\alpha$ имеет координаты $\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Эта точка находится во второй координатной четверти.
Ответ: $P_\alpha\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

в) Даны условия $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y > 0$.
Подставим значение $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ в уравнение единичной окружности:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + y^2 = 1$
$\frac{3}{4} + y^2 = 1$
$y^2 = 1 - \frac{3}{4}$
$y^2 = \frac{1}{4}$
$y = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$
Согласно условию $y > 0$, выбираем положительное значение $y = \frac{1}{2}$.
Таким образом, искомая точка $P_\alpha$ имеет координаты $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$. Эта точка находится в первой координатной четверти.
Ответ: $P_\alpha\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$.

г) Даны условия $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x < 0$.
Подставим значение $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ в уравнение единичной окружности:
$x^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1$
$x^2 + \frac{2}{4} = 1$
$x^2 + \frac{1}{2} = 1$
$x^2 = 1 - \frac{1}{2}$
$x^2 = \frac{1}{2}$
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
Согласно условию $x < 0$, выбираем отрицательное значение $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, искомая точка $P_\alpha$ имеет координаты $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Эта точка находится в третьей координатной четверти.
Ответ: $P_\alpha\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.