Номер 27, страница 14 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 27, страница 14.

Условие.

27. Вычислите (без помощи таблиц и калькулятора):

a) $ \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} $;

б) $ \left(\sin \frac{7\pi}{18} - \sin \frac{\pi}{18}\right) : \cos \frac{2\pi}{9} $;

в) $ \left(\sin^2 \frac{\pi}{8} - \cos^2 \frac{\pi}{8}\right)^2 $;

г) $ \frac{\cos \frac{11\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12}}{\sin \frac{5\pi}{12}} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для вычисления выражения $sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$. Из этой формулы следует, что $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$. Применим эту формулу для $\alpha = \frac{\pi}{12}$: $sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \frac{1}{2} \sin(\frac{2\pi}{12}) = \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{6})$. Зная, что $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Преобразуем выражение в скобках, используя формулу разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$. В нашем случае $\alpha = \frac{7\pi}{18}$ и $\beta = \frac{\pi}{18}$. $sin \frac{7\pi}{18} - sin \frac{\pi}{18} = 2 \sin(\frac{\frac{7\pi}{18}-\frac{\pi}{18}}{2}) \cos(\frac{\frac{7\pi}{18}+\frac{\pi}{18}}{2}) = 2 \sin(\frac{6\pi/18}{2}) \cos(\frac{8\pi/18}{2}) = 2 \sin(\frac{\pi/3}{2}) \cos(\frac{4\pi/9}{2}) = 2 \sin\frac{\pi}{6} \cos\frac{2\pi}{9}$. Теперь подставим это в исходное выражение: $(2 \sin\frac{\pi}{6} \cos\frac{2\pi}{9}) : \cos\frac{2\pi}{9}$. Так как $\cos\frac{2\pi}{9} \neq 0$, мы можем сократить на $\cos\frac{2\pi}{9}$: $2 \sin\frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Ответ: $1$.

в) Выражение в скобках можно преобразовать, вынеся знак минус: $\sin^2 \frac{\pi}{8} - \cos^2 \frac{\pi}{8} = -(\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8})$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. При $\alpha = \frac{\pi}{8}$ получаем: $-(\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}) = -\cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -\cos(\frac{2\pi}{8}) = -\cos\frac{\pi}{4}$. Значение $\cos\frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, выражение в скобках равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь возведем результат в квадрат: $(-\cos\frac{\pi}{4})^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Для преобразования числителя дроби воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$. В нашем случае $\alpha = \frac{11\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$. $\cos \frac{11\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12} = -2 \sin(\frac{\frac{11\pi}{12}+\frac{\pi}{12}}{2}) \sin(\frac{\frac{11\pi}{12}-\frac{\pi}{12}}{2}) = -2 \sin(\frac{12\pi/12}{2}) \sin(\frac{10\pi/12}{2}) = -2 \sin\frac{\pi}{2} \sin\frac{5\pi}{12}$. Подставим полученное выражение в исходную дробь: $\frac{-2 \sin\frac{\pi}{2} \sin\frac{5\pi}{12}}{\sin\frac{5\pi}{12}}$. Так как $\sin\frac{5\pi}{12} \neq 0$, мы можем сократить дробь на $\sin\frac{5\pi}{12}$: $-2 \sin\frac{\pi}{2}$. Зная, что $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, получаем: $-2 \cdot 1 = -2$.
Ответ: $-2$.