Номер 20, страница 13 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 20, страница 13.

Условие.

20. — а) Найдите радианную меру центрального угла сектора, если длина соответствующей дуги равна диаметру круга.

б) Длина дуги сектора втрое меньше его периметра. Найдите радианную меру его центрального угла.

Решение 1.

Решение 5.

а)

Пусть $R$ — радиус круга, $D$ — его диаметр, $L$ — длина дуги сектора, а $\alpha$ — искомая радианная мера центрального угла.
По определению, диаметр круга равен двум радиусам: $D = 2R$.
Согласно условию задачи, длина дуги равна диаметру круга: $L = D = 2R$.
Длина дуги сектора связана с центральным углом $\alpha$ (в радианах) и радиусом $R$ формулой: $L = \alpha \cdot R$.
Теперь мы можем приравнять два выражения для длины дуги $L$:
$\alpha \cdot R = 2R$
Поскольку радиус $R$ для любого круга является положительной величиной ($R > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $R$:
$\alpha = 2$
Таким образом, радианная мера центрального угла составляет 2 радиана.
Ответ: 2.

б)

Пусть $R$ — радиус круга, $L$ — длина дуги сектора, $P$ — периметр сектора, а $\alpha$ — искомая радианная мера центрального угла.
Периметр сектора складывается из длины дуги $L$ и двух радиусов $R$, которые его ограничивают. Формула для периметра сектора: $P = L + 2R$.
По условию, длина дуги сектора втрое меньше его периметра. Это можно записать как $P = 3L$.
Приравняем два выражения для периметра $P$:
$L + 2R = 3L$
Вычтем $L$ из обеих частей уравнения:
$2R = 2L$
Разделив обе части на 2, получаем:
$R = L$
Теперь воспользуемся формулой для длины дуги: $L = \alpha \cdot R$.
Подставим в эту формулу найденное соотношение $L = R$:
$R = \alpha \cdot R$
Так как радиус круга $R > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $R$:
$\alpha = 1$
Следовательно, радианная мера центрального угла составляет 1 радиан.
Ответ: 1.