Номер 25, страница 14 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 25, страница 14.

Условие.

25.—

a) $(\sin^2 t + 2 \sin t \cos t - \cos^2 t)^2 = 1 - \sin 4t;$

б) $\frac{\cos \alpha - 2 \sin 3\alpha - \cos 5\alpha}{\sin 5\alpha - 2 \cos 3\alpha - \sin \alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha;$

в) $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{\cos^2 t - \sin^2 t} = \cos 2t;$

г) $\frac{\sin \alpha + 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Докажем тождество $(\sin^2 t + 2 \sin t \cos t - \cos^2 t)^2 = 1 - \sin 4t$.

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы выделить известные тригонометрические формулы:

$(\sin^2 t + 2 \sin t \cos t - \cos^2 t)^2 = ((2 \sin t \cos t) - (\cos^2 t - \sin^2 t))^2$.

Применим формулы двойного угла: $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ и $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Подставив эти формулы в выражение, получим:

$(\sin 2t - \cos 2t)^2$.

Теперь раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$\sin^2 2t - 2 \sin 2t \cos 2t + \cos^2 2t$.

Сгруппируем первое и третье слагаемые: $(\sin^2 2t + \cos^2 2t) - 2 \sin 2t \cos 2t$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ (для $x=2t$) и снова формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ (для $x=2t$):

$1 - \sin(2 \cdot 2t) = 1 - \sin 4t$.

Мы преобразовали левую часть тождества к виду правой части. Тождество доказано.

Ответ: $(\sin^2 t + 2 \sin t \cos t - \cos^2 t)^2 = 1 - \sin 4t$.

б)

Докажем тождество $\frac{\cos \alpha - 2 \sin 3\alpha - \cos 5\alpha}{\sin 5\alpha - 2 \cos 3\alpha - \sin \alpha} = \tan 3\alpha$.

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $\cos \alpha - 2 \sin 3\alpha - \cos 5\alpha = (\cos \alpha - \cos 5\alpha) - 2 \sin 3\alpha$.

Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$:

$-2 \sin \frac{\alpha+5\alpha}{2} \sin \frac{\alpha-5\alpha}{2} - 2 \sin 3\alpha = -2 \sin 3\alpha \sin(-2\alpha) - 2 \sin 3\alpha$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$2 \sin 3\alpha \sin 2\alpha - 2 \sin 3\alpha = 2 \sin 3\alpha (\sin 2\alpha - 1)$.

Знаменатель: $\sin 5\alpha - 2 \cos 3\alpha - \sin \alpha = (\sin 5\alpha - \sin \alpha) - 2 \cos 3\alpha$.

Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$:

$2 \cos \frac{5\alpha+\alpha}{2} \sin \frac{5\alpha-\alpha}{2} - 2 \cos 3\alpha = 2 \cos 3\alpha \sin 2\alpha - 2 \cos 3\alpha$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$2 \cos 3\alpha (\sin 2\alpha - 1)$.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{2 \sin 3\alpha (\sin 2\alpha - 1)}{2 \cos 3\alpha (\sin 2\alpha - 1)}$.

Сократим общий множитель $2(\sin 2\alpha - 1)$ (при условии, что он не равен нулю, т.е. $\sin 2\alpha \neq 1$):

$\frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} = \tan 3\alpha$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\frac{\cos \alpha - 2 \sin 3\alpha - \cos 5\alpha}{\sin 5\alpha - 2 \cos 3\alpha - \sin \alpha} = \tan 3\alpha$.

в)

Докажем тождество $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{\cos^2 t - \sin^2 t} = \cos 2t$.

Преобразуем левую часть тождества.

Рассмотрим числитель: $1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t$. Его можно представить как разность квадратов: $1 - (2 \sin t \cos t)^2$.

Применяя формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$, получаем:

$1 - (\sin 2t)^2 = 1 - \sin^2 2t$.

По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$, числитель равен $\cos^2 2t$.

Рассмотрим знаменатель: $\cos^2 t - \sin^2 t$. Это одна из формул косинуса двойного угла:

$\cos^2 t - \sin^2 t = \cos 2t$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{\cos^2 2t}{\cos 2t}$.

При условии, что $\cos 2t \neq 0$, сокращаем дробь на $\cos 2t$:

$\cos 2t$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{\cos^2 t - \sin^2 t} = \cos 2t$.

г)

Докажем тождество $\frac{\sin \alpha + 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = \tan 2\alpha$.

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $\sin \alpha + 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha$. Сгруппируем крайние члены: $(\sin \alpha + \sin 3\alpha) + 2 \sin 2\alpha$.

Применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$:

$2 \sin \frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-3\alpha}{2} + 2 \sin 2\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos(-\alpha) + 2 \sin 2\alpha$.

Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, получаем:

$2 \sin 2\alpha \cos \alpha + 2 \sin 2\alpha = 2 \sin 2\alpha (\cos \alpha + 1)$.

Знаменатель: $\cos \alpha + 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha$. Сгруппируем крайние члены: $(\cos \alpha + \cos 3\alpha) + 2 \cos 2\alpha$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$:

$2 \cos \frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-3\alpha}{2} + 2 \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha \cos(-\alpha) + 2 \cos 2\alpha$.

Так как $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, получаем:

$2 \cos 2\alpha \cos \alpha + 2 \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha (\cos \alpha + 1)$.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{2 \sin 2\alpha (\cos \alpha + 1)}{2 \cos 2\alpha (\cos \alpha + 1)}$.

Сократим общий множитель $2(\cos \alpha + 1)$ (при условии, что он не равен нулю, т.е. $\cos \alpha \neq -1$):

$\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \tan 2\alpha$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\frac{\sin \alpha + 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = \tan 2\alpha$.