Номер 25, страница 14 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 25, страница 14.
№25 (с. 14)
Условие. №25 (с. 14)
скриншот условия

25.—
a) $(\sin^2 t + 2 \sin t \cos t - \cos^2 t)^2 = 1 - \sin 4t;$
б) $\frac{\cos \alpha - 2 \sin 3\alpha - \cos 5\alpha}{\sin 5\alpha - 2 \cos 3\alpha - \sin \alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha;$
в) $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{\cos^2 t - \sin^2 t} = \cos 2t;$
г) $\frac{\sin \alpha + 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha.$
Решение 1. №25 (с. 14)

Решение 3. №25 (с. 14)

Решение 5. №25 (с. 14)
а)
Докажем тождество $(\sin^2 t + 2 \sin t \cos t - \cos^2 t)^2 = 1 - \sin 4t$.
Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы выделить известные тригонометрические формулы:
$(\sin^2 t + 2 \sin t \cos t - \cos^2 t)^2 = ((2 \sin t \cos t) - (\cos^2 t - \sin^2 t))^2$.
Применим формулы двойного угла: $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ и $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.
Подставив эти формулы в выражение, получим:
$(\sin 2t - \cos 2t)^2$.
Теперь раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$\sin^2 2t - 2 \sin 2t \cos 2t + \cos^2 2t$.
Сгруппируем первое и третье слагаемые: $(\sin^2 2t + \cos^2 2t) - 2 \sin 2t \cos 2t$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ (для $x=2t$) и снова формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ (для $x=2t$):
$1 - \sin(2 \cdot 2t) = 1 - \sin 4t$.
Мы преобразовали левую часть тождества к виду правой части. Тождество доказано.
Ответ: $(\sin^2 t + 2 \sin t \cos t - \cos^2 t)^2 = 1 - \sin 4t$.
б)
Докажем тождество $\frac{\cos \alpha - 2 \sin 3\alpha - \cos 5\alpha}{\sin 5\alpha - 2 \cos 3\alpha - \sin \alpha} = \tan 3\alpha$.
Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби.
Числитель: $\cos \alpha - 2 \sin 3\alpha - \cos 5\alpha = (\cos \alpha - \cos 5\alpha) - 2 \sin 3\alpha$.
Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$:
$-2 \sin \frac{\alpha+5\alpha}{2} \sin \frac{\alpha-5\alpha}{2} - 2 \sin 3\alpha = -2 \sin 3\alpha \sin(-2\alpha) - 2 \sin 3\alpha$.
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:
$2 \sin 3\alpha \sin 2\alpha - 2 \sin 3\alpha = 2 \sin 3\alpha (\sin 2\alpha - 1)$.
Знаменатель: $\sin 5\alpha - 2 \cos 3\alpha - \sin \alpha = (\sin 5\alpha - \sin \alpha) - 2 \cos 3\alpha$.
Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$:
$2 \cos \frac{5\alpha+\alpha}{2} \sin \frac{5\alpha-\alpha}{2} - 2 \cos 3\alpha = 2 \cos 3\alpha \sin 2\alpha - 2 \cos 3\alpha$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$2 \cos 3\alpha (\sin 2\alpha - 1)$.
Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:
$\frac{2 \sin 3\alpha (\sin 2\alpha - 1)}{2 \cos 3\alpha (\sin 2\alpha - 1)}$.
Сократим общий множитель $2(\sin 2\alpha - 1)$ (при условии, что он не равен нулю, т.е. $\sin 2\alpha \neq 1$):
$\frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} = \tan 3\alpha$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: $\frac{\cos \alpha - 2 \sin 3\alpha - \cos 5\alpha}{\sin 5\alpha - 2 \cos 3\alpha - \sin \alpha} = \tan 3\alpha$.
в)
Докажем тождество $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{\cos^2 t - \sin^2 t} = \cos 2t$.
Преобразуем левую часть тождества.
Рассмотрим числитель: $1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t$. Его можно представить как разность квадратов: $1 - (2 \sin t \cos t)^2$.
Применяя формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$, получаем:
$1 - (\sin 2t)^2 = 1 - \sin^2 2t$.
По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$, числитель равен $\cos^2 2t$.
Рассмотрим знаменатель: $\cos^2 t - \sin^2 t$. Это одна из формул косинуса двойного угла:
$\cos^2 t - \sin^2 t = \cos 2t$.
Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{\cos^2 2t}{\cos 2t}$.
При условии, что $\cos 2t \neq 0$, сокращаем дробь на $\cos 2t$:
$\cos 2t$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{\cos^2 t - \sin^2 t} = \cos 2t$.
г)
Докажем тождество $\frac{\sin \alpha + 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = \tan 2\alpha$.
Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби.
Числитель: $\sin \alpha + 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha$. Сгруппируем крайние члены: $(\sin \alpha + \sin 3\alpha) + 2 \sin 2\alpha$.
Применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$:
$2 \sin \frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-3\alpha}{2} + 2 \sin 2\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos(-\alpha) + 2 \sin 2\alpha$.
Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, получаем:
$2 \sin 2\alpha \cos \alpha + 2 \sin 2\alpha = 2 \sin 2\alpha (\cos \alpha + 1)$.
Знаменатель: $\cos \alpha + 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha$. Сгруппируем крайние члены: $(\cos \alpha + \cos 3\alpha) + 2 \cos 2\alpha$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$:
$2 \cos \frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-3\alpha}{2} + 2 \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha \cos(-\alpha) + 2 \cos 2\alpha$.
Так как $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, получаем:
$2 \cos 2\alpha \cos \alpha + 2 \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha (\cos \alpha + 1)$.
Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:
$\frac{2 \sin 2\alpha (\cos \alpha + 1)}{2 \cos 2\alpha (\cos \alpha + 1)}$.
Сократим общий множитель $2(\cos \alpha + 1)$ (при условии, что он не равен нулю, т.е. $\cos \alpha \neq -1$):
$\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \tan 2\alpha$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: $\frac{\sin \alpha + 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = \tan 2\alpha$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 25 расположенного на странице 14 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №25 (с. 14), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.