Номер 28, страница 20 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 28, страница 20.

Условие.

28. – Отметьте на единичной окружности точку $P_\alpha$, если:

а) $\alpha = \frac{\pi}{6}$, $\alpha = \frac{\pi}{2}$, $\alpha = \frac{3\pi}{4}$;

б) $\alpha = \frac{\pi}{4}$, $\alpha = \pi$, $\alpha = -\frac{\pi}{2}$;

в) $\alpha = \frac{\pi}{3}$, $\alpha = \frac{3\pi}{2}$, $\alpha = -\frac{\pi}{4}$;

г) $\alpha = -\frac{\pi}{6}$, $\alpha = 2\pi$, $\alpha = \frac{5\pi}{4}$.

Решение 1.

Решение 5.

Для решения этой задачи мы будем использовать единичную окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат (0,0). Точка $P_{\alpha}$ на этой окружности соответствует углу $\alpha$, отложенному от положительного направления оси абсцисс (от точки (1,0)). Положительные углы откладываются против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Полный оборот составляет $2\pi$ радиан или $360^{\circ}$.

а)

1. Точка для $\alpha = \frac{\pi}{6}$:
Угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$ радиан равен $30^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $30^{\circ}$ против часовой стрелки. Точка $P_{\pi/6}$ окажется в первой координатной четверти. Ее координаты равны $(\cos(\frac{\pi}{6}), \sin(\frac{\pi}{6})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

2. Точка для $\alpha = \frac{\pi}{2}$:
Угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$ радиан равен $90^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $90^{\circ}$ против часовой стрелки. Точка $P_{\pi/2}$ окажется на положительной полуоси ординат (ось Oy). Ее координаты равны $(\cos(\frac{\pi}{2}), \sin(\frac{\pi}{2})) = (0, 1)$.

3. Точка для $\alpha = \frac{3\pi}{4}$:
Угол $\alpha = \frac{3\pi}{4}$ радиан равен $135^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $135^{\circ}$ против часовой стрелки. Так как $90^{\circ} < 135^{\circ} < 180^{\circ}$, точка $P_{3\pi/4}$ окажется во второй координатной четверти. Ее координаты равны $(\cos(\frac{3\pi}{4}), \sin(\frac{3\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Точка $P_{\pi/6}$ находится в I четверти, точка $P_{\pi/2}$ — на положительной полуоси Oy, точка $P_{3\pi/4}$ — во II четверти.

б)

1. Точка для $\alpha = \frac{\pi}{4}$:
Угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$ радиан равен $45^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $45^{\circ}$ против часовой стрелки. Точка $P_{\pi/4}$ окажется в первой координатной четверти, деля ее дугу пополам. Ее координаты равны $(\cos(\frac{\pi}{4}), \sin(\frac{\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

2. Точка для $\alpha = \pi$:
Угол $\alpha = \pi$ радиан равен $180^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $180^{\circ}$ против часовой стрелки. Точка $P_{\pi}$ окажется на отрицательной полуоси абсцисс (ось Ox). Ее координаты равны $(\cos(\pi), \sin(\pi)) = (-1, 0)$.

3. Точка для $\alpha = -\frac{\pi}{2}$:
Угол отрицательный, поэтому откладываем его по часовой стрелке. Угол $\alpha = -\frac{\pi}{2}$ радиан равен $-90^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $90^{\circ}$ по часовой стрелке. Точка $P_{-\pi/2}$ окажется на отрицательной полуоси ординат (ось Oy). Ее координаты равны $(\cos(-\frac{\pi}{2}), \sin(-\frac{\pi}{2})) = (0, -1)$.

Ответ: Точка $P_{\pi/4}$ находится в I четверти, точка $P_{\pi}$ — на отрицательной полуоси Ox, точка $P_{-\pi/2}$ — на отрицательной полуоси Oy.

в)

1. Точка для $\alpha = \frac{\pi}{3}$:
Угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$ радиан равен $60^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $60^{\circ}$ против часовой стрелки. Точка $P_{\pi/3}$ окажется в первой координатной четверти. Ее координаты равны $(\cos(\frac{\pi}{3}), \sin(\frac{\pi}{3})) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

2. Точка для $\alpha = \frac{3\pi}{2}$:
Угол $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ радиан равен $270^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $270^{\circ}$ против часовой стрелки. Точка $P_{3\pi/2}$ окажется на отрицательной полуоси ординат (ось Oy). Ее координаты равны $(\cos(\frac{3\pi}{2}), \sin(\frac{3\pi}{2})) = (0, -1)$.

3. Точка для $\alpha = -\frac{\pi}{4}$:
Угол отрицательный, откладываем его по часовой стрелке. Угол $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ радиан равен $-45^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $45^{\circ}$ по часовой стрелке. Точка $P_{-\pi/4}$ окажется в четвертой координатной четверти. Ее координаты равны $(\cos(-\frac{\pi}{4}), \sin(-\frac{\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Точка $P_{\pi/3}$ находится в I четверти, точка $P_{3\pi/2}$ — на отрицательной полуоси Oy, точка $P_{-\pi/4}$ — в IV четверти.

г)

1. Точка для $\alpha = -\frac{\pi}{6}$:
Угол отрицательный, откладываем его по часовой стрелке. Угол $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ радиан равен $-30^{\circ}$. Откладываем от точки (1,0) угол $30^{\circ}$ по часовой стрелке. Точка $P_{-\pi/6}$ окажется в четвертой координатной четверти. Ее координаты равны $(\cos(-\frac{\pi}{6}), \sin(-\frac{\pi}{6})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.

2. Точка для $\alpha = 2\pi$:
Угол $\alpha = 2\pi$ радиан равен $360^{\circ}$, что соответствует полному обороту. Отложив от точки (1,0) угол $360^{\circ}$ против часовой стрелки, мы вернемся в исходную точку. Таким образом, точка $P_{2\pi}$ совпадает с точкой $P_0$. Ее координаты равны $(\cos(2\pi), \sin(2\pi)) = (1, 0)$.

3. Точка для $\alpha = \frac{5\pi}{4}$:
Угол $\alpha = \frac{5\pi}{4}$ радиан равен $225^{\circ}$. Его можно представить как $\pi + \frac{\pi}{4}$. Откладываем от точки (1,0) угол $225^{\circ}$ против часовой стрелки. Так как $180^{\circ} < 225^{\circ} < 270^{\circ}$, точка $P_{5\pi/4}$ окажется в третьей координатной четверти. Ее координаты равны $(\cos(\frac{5\pi}{4}), \sin(\frac{5\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Точка $P_{-\pi/6}$ находится в IV четверти, точка $P_{2\pi}$ — на положительной полуоси Ox, точка $P_{5\pi/4}$ — в III четверти.