Номер 33, страница 20 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 33, страница 20.

Условие.

33. Постройте график функции:

a) $y = \cos \left( \frac{3\pi}{2} + x \right);$

б) $y = -\sin (x + \pi);$

в) $y = \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right);$

г) $y = \text{tg} (x + \pi).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для построения графика функции $y = \cos(\frac{3\pi}{2} + x)$ необходимо сначала упростить выражение, используя формулы приведения. Согласно формуле приведения, $\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin(x)$. Это следует из того, что при добавлении $\frac{3\pi}{2}$ косинус меняется на синус, а знак определяется по исходной функции: угол $(\frac{3\pi}{2} + x)$ находится в IV четверти, где косинус положителен.
Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = \sin(x)$.
Это стандартная синусоида, обладающая следующими свойствами:
- Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
- Область значений: отрезок $[-1, 1]$, $E(y) = [-1, 1]$.
- Функция является периодической с основным периодом $T = 2\pi$.
- График проходит через начало координат $(0, 0)$.
- Нули функции (точки пересечения с осью абсцисс) находятся в точках $x = k\pi$, где $k$ — целое число.
- Максимумы, равные 1, достигаются в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
- Минимумы, равные -1, достигаются в точках $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.
Ответ: График функции $y = \cos(\frac{3\pi}{2} + x)$ является стандартной синусоидой, графиком функции $y = \sin(x)$.

б) Упростим функцию $y = -\sin(x + \pi)$ с помощью формул приведения. Для синуса справедливо тождество $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$. Подставим это в исходное уравнение:
$y = -(-\sin(x)) = \sin(x)$.
Таким образом, как и в предыдущем пункте, мы получили функцию $y = \sin(x)$.
Следовательно, график этой функции — синусоида, полностью совпадающая с графиком, описанным в пункте а).
Ответ: График функции $y = -\sin(x + \pi)$ является стандартной синусоидой, графиком функции $y = \sin(x)$.

в) Рассмотрим функцию $y = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$. По формуле приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$. Это следует из того, что при вычитании из $\frac{\pi}{2}$ косинус меняется на синус, а знак определяется по исходной функции: угол $(\frac{\pi}{2} - x)$ для малого положительного $x$ находится в I четверти, где косинус положителен.
Функция снова сводится к $y = \sin(x)$.
Также можно было использовать свойство четности косинуса: $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - x)) = \cos(x - \frac{\pi}{2})$. График $y = \cos(x - \frac{\pi}{2})$ получается сдвигом графика $y = \cos(x)$ вправо на $\frac{\pi}{2}$, что в точности дает график $y = \sin(x)$.
График этой функции — та же самая синусоида, что и в пунктах а) и б).
Ответ: График функции $y = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ является стандартной синусоидой, графиком функции $y = \sin(x)$.

г) Рассмотрим функцию $y = \tan(x + \pi)$. Функция тангенса является периодической с основным периодом $\pi$. Это означает, что для любого целого $k$ выполняется равенство $\tan(\alpha + k\pi) = \tan(\alpha)$. В нашем случае $k=1$, следовательно:
$y = \tan(x + \pi) = \tan(x)$.
Задача сводится к построению графика функции $y = \tan(x)$.
Это стандартная тангенсоида со следующими свойствами:
- Область определения: все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число.
- Область значений: все действительные числа, $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
- Функция является периодической с основным периодом $T = \pi$.
- График имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
- Нули функции (точки пересечения с осью абсцисс) находятся в точках $x = k\pi$.
- Функция является возрастающей на всей области определения.
Ответ: График функции $y = \tan(x + \pi)$ является стандартной тангенсоидой, графиком функции $y = \tan(x)$.