Номер 39, страница 21 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 39, страница 21.

Условие.

39. a) $y = x^2 - 3x$;

б) $y = \sin x - 1,5$;

В) $y = 2,5 + \cos x$;

г) $y = \frac{1}{x} + 1$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а) $y = x^2 - 3x$

Данная функция является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1 > 0$). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в вершине параболы и не ограничена сверху.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = 1$, $b = -3$.

$x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Чтобы найти ординату вершины (наименьшее значение функции), подставим $x_0$ в уравнение функции:

$y_0 = (1,5)^2 - 3 \cdot 1,5 = 2,25 - 4,5 = -2,25$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-2,25$. Область значений функции (множество всех значений, которые может принимать $y$) — это все числа, большие или равные $-2,25$.

Ответ: $E(y) = [-2,25; +\infty)$.

б) $y = \sin x - 1,5$

Область значений функции синус, $f(x) = \sin x$, представляет собой отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \sin x \le 1$.

Чтобы найти область значений для функции $y = \sin x - 1,5$, вычтем $1,5$ из всех частей этого неравенства:

$-1 - 1,5 \le \sin x - 1,5 \le 1 - 1,5$.

Выполним вычисления:

$-2,5 \le y \le -0,5$.

Следовательно, область значений данной функции — это отрезок от $-2,5$ до $-0,5$.

Ответ: $E(y) = [-2,5; -0,5]$.

в) $y = 2,5 + \cos x$

Область значений функции косинус, $f(x) = \cos x$, представляет собой отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \cos x \le 1$.

Чтобы найти область значений для функции $y = 2,5 + \cos x$, прибавим $2,5$ ко всем частям этого неравенства:

$-1 + 2,5 \le \cos x + 2,5 \le 1 + 2,5$.

Выполним вычисления:

$1,5 \le y \le 3,5$.

Следовательно, область значений данной функции — это отрезок от $1,5$ до $3,5$.

Ответ: $E(y) = [1,5; 3,5]$.

г) $y = \frac{1}{x} + 1$

Данная функция является преобразованием обратной пропорциональности $f(x) = \frac{1}{x}$. Область определения функции $y = \frac{1}{x} + 1$ — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений функции $f(x) = \frac{1}{x}$ — это все действительные числа, кроме нуля. То есть $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Функция $y = \frac{1}{x} + 1$ получена из функции $f(x) = \frac{1}{x}$ сдвигом ее графика вверх на 1 единицу вдоль оси ординат. Соответственно, и область ее значений будет сдвинута на 1 вверх.

Другой способ — выразить $x$ через $y$:

$y - 1 = \frac{1}{x}$

$x = \frac{1}{y - 1}$

Это выражение имеет смысл для всех значений $y$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. То есть $y - 1 \neq 0$, откуда $y \neq 1$.

Таким образом, $y$ может принимать любые действительные значения, кроме 1.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.