Номер 46, страница 29 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 46, страница 29.

Условие.

46. Найдите область определения и область значений функции, график которой изображен на рисунке 27, а–г.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения области определения и области значений функции по её графику необходимо проанализировать проекции графика на оси координат.

• Область определения функции (D(y)) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Геометрически это проекция графика функции на ось абсцисс (ось Ox).
• Область значений функции (E(y)) — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Геометрически это проекция графика функции на ось ординат (ось Oy).

а)

На рисунке а изображена парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

Область определения: График простирается неограниченно влево и вправо вдоль оси Ox. Для любого значения $x$ из множества действительных чисел можно найти соответствующее значение $y$. Следовательно, область определения — все действительные числа.

Область значений: Самая низкая точка графика — это его вершина с ординатой $y = -1$. Все остальные точки графика лежат выше. Таким образом, функция принимает все значения от $-1$ включительно и до $+\infty$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-1; +\infty)$.

б)

На рисунке б изображена верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом 3.

Область определения: График существует для значений $x$ от $-3$ до $3$ включительно. Проекцией графика на ось Ox является отрезок $[-3, 3]$.

Область значений: Минимальное значение функции равно 0 (при $x = -3$ и $x = 3$), а максимальное значение равно радиусу, то есть 3 (при $x = 0$). Функция принимает все значения между 0 и 3 включительно. Проекцией графика на ось Oy является отрезок $[0, 3]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-3; 3]$. Область значений $E(y) = [0; 3]$.

в)

На рисунке в изображен график кусочно-заданной функции. Он состоит из двух частей: горизонтального луча и луча, направленного вверх и вправо.

Область определения: Левая часть графика определена для всех $x < 1$. Правая часть графика определена для всех $x \ge 1$. Точка при $x = 1$ закрашена (принадлежит графику), её ордината равна -1. Таким образом, функция определена для всех действительных значений $x$.

Область значений: Левая часть графика — это горизонтальный луч $y=2$ (при $x<1$), точка $(1,2)$ выколота. Правая часть графика начинается в точке $(1, -1)$ и идёт вверх до бесконечности. Таким образом, для $x \ge 1$ функция принимает все значения из промежутка $[-1; +\infty)$. Объединяя значения из обеих частей, получаем, что множество значений функции — это объединение множества $\{2\}$ и промежутка $[-1; +\infty)$. Поскольку число 2 содержится в промежутке $[-1; +\infty)$, итоговая область значений — это $[-1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-1; +\infty)$.

г)

На рисунке г график функции состоит из трех отдельных точек: $(-2, 4)$, $(0, 0)$ и $(2, 4)$.

Область определения: Функция определена только в тех значениях $x$, которые являются абсциссами данных точек. Это конечное множество чисел.

Область значений: Функция принимает только те значения $y$, которые являются ординатами данных точек. Это также конечное множество чисел.

Ответ: Область определения $D(y) = \{-2; 0; 2\}$. Область значений $E(y) = \{0; 4\}$.