Номер 49, страница 30 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 49, страница 30.
№49 (с. 30)
Условие. №49 (с. 30)
скриншот условия

Постройте графики функций (49–50).
49. а) $y = \frac{1}{x-3}$;
б) $y = (x - 2)^2 - 4$;
в) $y = 1 - (x + 2)^2$;
г) $y = 2 + \frac{1}{x}$.
Решение 1. №49 (с. 30)


Решение 3. №49 (с. 30)

Решение 5. №49 (с. 30)
а) $y = \frac{1}{x-3}$
Для построения графика этой функции воспользуемся методом преобразования графиков. Исходной функцией является $y = \frac{1}{x}$. Ее график — гипербола, расположенная в первой и третьей координатных четвертях. Асимптоты этой гиперболы — оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
Функция $y = \frac{1}{x-3}$ получается из функции $y = \frac{1}{x}$ заменой аргумента $x$ на выражение $x-3$. Такое преобразование соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика исходной функции вдоль оси абсцисс (Ox) на 3 единицы вправо.
Следовательно, все точки графика $y = \frac{1}{x}$ смещаются на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота $x=0$ также смещается на 3 единицы вправо и становится прямой $x=3$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при сдвиге вправо не меняется.
Таким образом, график функции $y = \frac{1}{x-3}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=3$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы находятся справа и слева от вертикальной асимптоты, в "новых" первой и третьей четвертях, образованных асимптотами.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{x-3}$ получается путем сдвига графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. График является гиперболой с асимптотами $x=3$ и $y=0$.
б) $y = (x-2)^2 - 4$
Для построения графика этой функции используем преобразования графика базовой функции $y = x^2$. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх.
Данная функция имеет вид $y = f(x-a) + b$, где $f(x)=x^2$, $a=2$ и $b=-4$. Преобразования выполняются последовательно:
1. Сдвиг графика $y=x^2$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем график функции $y = (x-2)^2$. Вершина параболы смещается в точку (2, 0).
2. Сдвиг полученного графика $y=(x-2)^2$ на 4 единицы вниз вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = (x-2)^2 - 4$. Вершина параболы смещается из точки (2, 0) в точку (2, -4).
Таким образом, график функции $y = (x-2)^2 - 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(2, -4)$. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x=2$.
Для большей точности найдем точки пересечения с осями координат:
Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = (0-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Точка (0, 0).
Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $0 = (x-2)^2 - 4 \Rightarrow (x-2)^2 = 4 \Rightarrow x-2 = \pm 2$. Отсюда $x_1 = 4$ и $x_2 = 0$. Точки (4, 0) и (0, 0).
Ответ: График функции $y = (x-2)^2 - 4$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 2 единицы вправо и на 4 единицы вниз. Вершина параболы находится в точке $(2, -4)$, ветви направлены вверх.
в) $y = 1 - (x+2)^2$
Перепишем функцию в более удобном для анализа виде: $y = -(x+2)^2 + 1$. Для построения графика снова используем преобразования графика базовой функции $y = x^2$.
Преобразования можно выполнить в следующем порядке:
1. Сначала рассмотрим функцию $y=(x+2)^2$. Ее график получается сдвигом параболы $y=x^2$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox ($x$ заменяется на $x+2=x-(-2)$). Вершина оказывается в точке (-2, 0).
2. Далее, рассмотрим функцию $y=-(x+2)^2$. Знак "минус" перед скобкой означает симметричное отражение графика $y=(x+2)^2$ относительно оси Ox. Ветви параболы теперь будут направлены вниз. Вершина остается в точке (-2, 0).
3. Наконец, прибавляем 1: $y = -(x+2)^2 + 1$. Это соответствует сдвигу графика $y=-(x+2)^2$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершина параболы смещается из точки (-2, 0) в точку (-2, 1).
Итак, искомый график — это парабола с вершиной в точке $(-2, 1)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии — прямая $x=-2$.
Найдем точки пересечения с осями координат:
Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = 1 - (0+2)^2 = 1 - 4 = -3$. Точка (0, -3).
Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $0 = 1 - (x+2)^2 \Rightarrow (x+2)^2 = 1 \Rightarrow x+2 = \pm 1$. Отсюда $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$. Точки (-1, 0) и (-3, 0).
Ответ: График функции $y = 1 - (x+2)^2$ — это парабола, полученная из графика $y=x^2$ путем сдвига на 2 единицы влево, отражения относительно оси Ox и сдвига на 1 единицу вверх. Вершина параболы находится в точке $(-2, 1)$, ветви направлены вниз.
г) $y = 2 + \frac{1}{x}$
Для построения графика этой функции воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$. График этой функции — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$.
Перепишем функцию как $y = \frac{1}{x} + 2$. Эта запись показывает, что функция получается из $y = \frac{1}{x}$ прибавлением константы 2. Такое преобразование соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика исходной функции вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вверх.
Следовательно, все точки графика $y = \frac{1}{x}$ смещаются на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота $x=0$ при сдвиге вверх не меняется. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.
Таким образом, график функции $y = 2 + \frac{1}{x}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=2$.
Найдем точку пересечения с осью Ox (при $y=0$): $0 = 2 + \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x = -0.5$. Точка (-0.5, 0). Пересечения с осью Oy нет, так как $x \neq 0$.
Ответ: График функции $y = 2 + \frac{1}{x}$ получается путем сдвига графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. График является гиперболой с асимптотами $x=0$ и $y=2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 49 расположенного на странице 30 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №49 (с. 30), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.