Номер 49, страница 30 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 49, страница 30.

Условие.

Постройте графики функций (49–50).

49. а) $y = \frac{1}{x-3}$;

б) $y = (x - 2)^2 - 4$;

в) $y = 1 - (x + 2)^2$;

г) $y = 2 + \frac{1}{x}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = \frac{1}{x-3}$

Для построения графика этой функции воспользуемся методом преобразования графиков. Исходной функцией является $y = \frac{1}{x}$. Ее график — гипербола, расположенная в первой и третьей координатных четвертях. Асимптоты этой гиперболы — оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

Функция $y = \frac{1}{x-3}$ получается из функции $y = \frac{1}{x}$ заменой аргумента $x$ на выражение $x-3$. Такое преобразование соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика исходной функции вдоль оси абсцисс (Ox) на 3 единицы вправо.

Следовательно, все точки графика $y = \frac{1}{x}$ смещаются на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота $x=0$ также смещается на 3 единицы вправо и становится прямой $x=3$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при сдвиге вправо не меняется.

Таким образом, график функции $y = \frac{1}{x-3}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=3$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы находятся справа и слева от вертикальной асимптоты, в "новых" первой и третьей четвертях, образованных асимптотами.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x-3}$ получается путем сдвига графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. График является гиперболой с асимптотами $x=3$ и $y=0$.

б) $y = (x-2)^2 - 4$

Для построения графика этой функции используем преобразования графика базовой функции $y = x^2$. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх.

Данная функция имеет вид $y = f(x-a) + b$, где $f(x)=x^2$, $a=2$ и $b=-4$. Преобразования выполняются последовательно:

1. Сдвиг графика $y=x^2$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем график функции $y = (x-2)^2$. Вершина параболы смещается в точку (2, 0).

2. Сдвиг полученного графика $y=(x-2)^2$ на 4 единицы вниз вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = (x-2)^2 - 4$. Вершина параболы смещается из точки (2, 0) в точку (2, -4).

Таким образом, график функции $y = (x-2)^2 - 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(2, -4)$. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x=2$.

Для большей точности найдем точки пересечения с осями координат:

Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = (0-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Точка (0, 0).

Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $0 = (x-2)^2 - 4 \Rightarrow (x-2)^2 = 4 \Rightarrow x-2 = \pm 2$. Отсюда $x_1 = 4$ и $x_2 = 0$. Точки (4, 0) и (0, 0).

Ответ: График функции $y = (x-2)^2 - 4$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 2 единицы вправо и на 4 единицы вниз. Вершина параболы находится в точке $(2, -4)$, ветви направлены вверх.

в) $y = 1 - (x+2)^2$

Перепишем функцию в более удобном для анализа виде: $y = -(x+2)^2 + 1$. Для построения графика снова используем преобразования графика базовой функции $y = x^2$.

Преобразования можно выполнить в следующем порядке:

1. Сначала рассмотрим функцию $y=(x+2)^2$. Ее график получается сдвигом параболы $y=x^2$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox ($x$ заменяется на $x+2=x-(-2)$). Вершина оказывается в точке (-2, 0).

2. Далее, рассмотрим функцию $y=-(x+2)^2$. Знак "минус" перед скобкой означает симметричное отражение графика $y=(x+2)^2$ относительно оси Ox. Ветви параболы теперь будут направлены вниз. Вершина остается в точке (-2, 0).

3. Наконец, прибавляем 1: $y = -(x+2)^2 + 1$. Это соответствует сдвигу графика $y=-(x+2)^2$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершина параболы смещается из точки (-2, 0) в точку (-2, 1).

Итак, искомый график — это парабола с вершиной в точке $(-2, 1)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии — прямая $x=-2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = 1 - (0+2)^2 = 1 - 4 = -3$. Точка (0, -3).

Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $0 = 1 - (x+2)^2 \Rightarrow (x+2)^2 = 1 \Rightarrow x+2 = \pm 1$. Отсюда $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$. Точки (-1, 0) и (-3, 0).

Ответ: График функции $y = 1 - (x+2)^2$ — это парабола, полученная из графика $y=x^2$ путем сдвига на 2 единицы влево, отражения относительно оси Ox и сдвига на 1 единицу вверх. Вершина параболы находится в точке $(-2, 1)$, ветви направлены вниз.

г) $y = 2 + \frac{1}{x}$

Для построения графика этой функции воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$. График этой функции — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$.

Перепишем функцию как $y = \frac{1}{x} + 2$. Эта запись показывает, что функция получается из $y = \frac{1}{x}$ прибавлением константы 2. Такое преобразование соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика исходной функции вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вверх.

Следовательно, все точки графика $y = \frac{1}{x}$ смещаются на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота $x=0$ при сдвиге вверх не меняется. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.

Таким образом, график функции $y = 2 + \frac{1}{x}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=2$.

Найдем точку пересечения с осью Ox (при $y=0$): $0 = 2 + \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x = -0.5$. Точка (-0.5, 0). Пересечения с осью Oy нет, так как $x \neq 0$.

Ответ: График функции $y = 2 + \frac{1}{x}$ получается путем сдвига графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. График является гиперболой с асимптотами $x=0$ и $y=2$.