Номер 48, страница 30 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 48, страница 30.

Условие.

48. — В одной и той же системе координат постройте графики функций:

a) $y = \frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{x} + 2$, $y = \frac{1}{x-2}$;

б) $y = \cos x$, $y = \cos x - 3$, $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

в) $y = -x^2$, $y = 4 - x^2$, $y = -(x - 2)^2$;

г) $y = \sin x$, $y = \sin x + 2$, $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Решение 1.

Решение 5.

а) Построение графиков функций $y = \frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{x} + 2$, $y = \frac{1}{x-2}$

Все три графика строятся на основе базового графика функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью преобразований сдвига.

1. Базовый график: $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$. Для построения можно использовать контрольные точки: $(1, 1)$, $(2, 0.5)$, $(0.5, 2)$, $(-1, -1)$, $(-2, -0.5)$, $(-0.5, -2)$.

2. График функции $y = \frac{1}{x} + 2$. Этот график получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вверх. Каждая точка графика $y = \frac{1}{x}$ смещается на 2 вверх. Вертикальная асимптота остается прежней ($x=0$), а горизонтальная асимптота смещается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.

3. График функции $y = \frac{1}{x-2}$. Этот график получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на 2 единицы вправо. Каждая точка графика $y = \frac{1}{x}$ смещается на 2 вправо. Горизонтальная асимптота остается прежней ($y=0$), а вертикальная асимптота смещается на 2 единицы вправо и становится прямой $x=2$.

Ответ: Для построения графиков в одной системе координат сначала строится гипербола $y = \frac{1}{x}$. Затем, для получения графика $y = \frac{1}{x} + 2$, исходная гипербола сдвигается на 2 единицы вверх. Для получения графика $y = \frac{1}{x-2}$, исходная гипербола сдвигается на 2 единицы вправо.

б) Построение графиков функций $y = \cos x$, $y = \cos x - 3$, $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$

Все три графика являются косинусоидами и строятся на основе базового графика $y = \cos x$ с помощью преобразований сдвига.

1. Базовый график: $y = \cos x$. Это периодическая функция с периодом $2\pi$. Амплитуда равна 1, область значений $[-1, 1]$. График проходит через ключевые точки: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. График функции $y = \cos x - 3$. Этот график получается из графика $y = \cos x$ путем параллельного переноса вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вниз. Каждая точка графика $y = \cos x$ смещается на 3 вниз. Область значений становится $[-1-3, 1-3]$, то есть $[-4, -2]$. Ось симметрии графика смещается с $y=0$ на $y=-3$.

3. График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$. Этот график получается из графика $y = \cos x$ путем параллельного переноса вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$ единиц влево (фазовый сдвиг). Каждая точка графика $y = \cos x$ смещается на $\frac{\pi}{4}$ влево. Например, максимум функции, который был в точке $(0, 1)$, теперь будет в точке $(-\frac{\pi}{4}, 1)$.

Ответ: Для построения графиков в одной системе координат сначала строится косинусоида $y = \cos x$. Затем, для получения графика $y = \cos x - 3$, исходная косинусоида сдвигается на 3 единицы вниз. Для получения графика $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$, исходная косинусоида сдвигается на $\frac{\pi}{4}$ влево.

в) Построение графиков функций $y = -x^2$, $y = 4 - x^2$, $y = -(x-2)^2$

Все три графика являются параболами и строятся на основе базового графика $y = -x^2$ с помощью преобразований сдвига.

1. Базовый график: $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат $(0, 0)$. Ось симметрии - ось $Oy$ ($x=0$). Контрольные точки: $(1, -1)$, $(-1, -1)$, $(2, -4)$, $(-2, -4)$.

2. График функции $y = 4 - x^2$. Эту функцию можно записать как $y = -x^2 + 4$. График получается из графика $y = -x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси $Oy$ на 4 единицы вверх. Вершина параболы смещается из $(0, 0)$ в точку $(0, 4)$.

3. График функции $y = -(x-2)^2$. Этот график получается из графика $y = -x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси $Ox$ на 2 единицы вправо. Вершина параболы смещается из $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.

Ответ: Для построения графиков в одной системе координат сначала строится парабола $y = -x^2$ с вершиной в начале координат и ветвями вниз. Затем, для получения графика $y = 4 - x^2$, исходная парабола сдвигается на 4 единицы вверх. Для получения графика $y = -(x-2)^2$, исходная парабола сдвигается на 2 единицы вправо.

г) Построение графиков функций $y = \sin x$, $y = \sin x + 2$, $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$

Все три графика являются синусоидами и строятся на основе базового графика $y = \sin x$ с помощью преобразований сдвига.

1. Базовый график: $y = \sin x$. Это периодическая функция с периодом $2\pi$. Амплитуда равна 1, область значений $[-1, 1]$. График проходит через начало координат и ключевые точки: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

2. График функции $y = \sin x + 2$. Этот график получается из графика $y = \sin x$ путем параллельного переноса вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вверх. Каждая точка графика $y = \sin x$ смещается на 2 вверх. Область значений становится $[-1+2, 1+2]$, то есть $[1, 3]$. Ось симметрии графика смещается с $y=0$ на $y=2$.

3. График функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$. Этот график получается из графика $y = \sin x$ путем параллельного переноса вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево (фазовый сдвиг). Каждая точка графика $y = \sin x$ смещается на $\frac{\pi}{3}$ влево. Например, точка $(0, 0)$ переходит в точку $(-\frac{\pi}{3}, 0)$, а максимум из точки $(\frac{\pi}{2}, 1)$ смещается в точку $(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}, 1) = (\frac{\pi}{6}, 1)$.

Ответ: Для построения графиков в одной системе координат сначала строится синусоида $y = \sin x$. Затем, для получения графика $y = \sin x + 2$, исходная синусоида сдвигается на 2 единицы вверх. Для получения графика $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$, исходная синусоида сдвигается на $\frac{\pi}{3}$ влево.