Номер 43, страница 29 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 43, страница 29.

Условие.

Найдите область определения каждой из функций (43—44).

43. а) $f(x) = \frac{x-1}{x^2 - 4x + 3}$;

б) $f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$;

в) $f(x) = \frac{5 - x^2}{x^2 + 2x - 8}$;

г) $f(x) = \sqrt{36 - x^2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $f(x) = \frac{x-1}{x^2 - 4x + 3}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь. Дробь имеет смысл, когда ее знаменатель не равен нулю. Поэтому мы должны исключить из области определения все значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль.

Приравняем знаменатель к нулю и решим полученное уравнение:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$

Также можно было воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна $4$, а их произведение равно $3$, откуда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $x=1$ и $x=3$. Эти значения необходимо исключить из области определения.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме 1 и 3.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)$.

б) $f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$

Данная функция содержит квадратный корень. Область определения функции с квадратным корнем — это множество всех значений аргумента $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).

Составим и решим неравенство:

$x^2 - 9 \geq 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 3)(x + 3) \geq 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -3]$, $[-3; 3]$ и $[3; +\infty)$. Определим знак выражения $(x - 3)(x + 3)$ в каждом интервале. Выражение положительно при $x < -3$ и при $x > 3$. Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), точки $x=-3$ и $x=3$ включаются в решение.

Следовательно, область определения функции — это объединение двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

в) $f(x) = \frac{5 - x^2}{x^2 + 2x - 8}$

Функция является дробно-рациональной. Область определения такой функции — все действительные числа, за исключением тех, при которых знаменатель равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение:

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$

$x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

По теореме Виета: сумма корней равна $-2$, произведение равно $-8$, откуда корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Значит, при $x=2$ и $x=-4$ знаменатель равен нулю. Эти значения нужно исключить из области определения.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме -4 и 2.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 2) \cup (2; +\infty)$.

г) $f(x) = \sqrt{36 - x^2}$

Эта функция содержит выражение под знаком квадратного корня. Область определения такой функции состоит из всех значений $x$, для которых подкоренное выражение является неотрицательным.

Необходимо решить неравенство:

$36 - x^2 \geq 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(6 - x)(6 + x) \geq 0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(6 - x)(6 + x) = 0$ равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Парабола $y = 36 - x^2$ ветвями вниз, поэтому она принимает неотрицательные значения между корнями.

Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), концы интервала, точки $x=-6$ и $x=6$, включаются в решение.

Таким образом, область определения функции — это отрезок от -6 до 6.

Ответ: $x \in [-6; 6]$.