Номер 43, страница 29 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 43, страница 29.
№43 (с. 29)
Условие. №43 (с. 29)
скриншот условия

Найдите область определения каждой из функций (43—44).
43. а) $f(x) = \frac{x-1}{x^2 - 4x + 3}$;
б) $f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$;
в) $f(x) = \frac{5 - x^2}{x^2 + 2x - 8}$;
г) $f(x) = \sqrt{36 - x^2}$.
Решение 1. №43 (с. 29)

Решение 3. №43 (с. 29)

Решение 4. №43 (с. 29)

Решение 5. №43 (с. 29)
а) $f(x) = \frac{x-1}{x^2 - 4x + 3}$
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь. Дробь имеет смысл, когда ее знаменатель не равен нулю. Поэтому мы должны исключить из области определения все значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль.
Приравняем знаменатель к нулю и решим полученное уравнение:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$
$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$
Также можно было воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна $4$, а их произведение равно $3$, откуда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $x=1$ и $x=3$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме 1 и 3.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)$.
б) $f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$
Данная функция содержит квадратный корень. Область определения функции с квадратным корнем — это множество всех значений аргумента $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).
Составим и решим неравенство:
$x^2 - 9 \geq 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 3)(x + 3) \geq 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -3]$, $[-3; 3]$ и $[3; +\infty)$. Определим знак выражения $(x - 3)(x + 3)$ в каждом интервале. Выражение положительно при $x < -3$ и при $x > 3$. Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), точки $x=-3$ и $x=3$ включаются в решение.
Следовательно, область определения функции — это объединение двух промежутков.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.
в) $f(x) = \frac{5 - x^2}{x^2 + 2x - 8}$
Функция является дробно-рациональной. Область определения такой функции — все действительные числа, за исключением тех, при которых знаменатель равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение:
$x^2 + 2x - 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$
$x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
По теореме Виета: сумма корней равна $-2$, произведение равно $-8$, откуда корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.
Значит, при $x=2$ и $x=-4$ знаменатель равен нулю. Эти значения нужно исключить из области определения.
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме -4 и 2.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 2) \cup (2; +\infty)$.
г) $f(x) = \sqrt{36 - x^2}$
Эта функция содержит выражение под знаком квадратного корня. Область определения такой функции состоит из всех значений $x$, для которых подкоренное выражение является неотрицательным.
Необходимо решить неравенство:
$36 - x^2 \geq 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(6 - x)(6 + x) \geq 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(6 - x)(6 + x) = 0$ равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Парабола $y = 36 - x^2$ ветвями вниз, поэтому она принимает неотрицательные значения между корнями.
Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), концы интервала, точки $x=-6$ и $x=6$, включаются в решение.
Таким образом, область определения функции — это отрезок от -6 до 6.
Ответ: $x \in [-6; 6]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 43 расположенного на странице 29 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №43 (с. 29), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.