Номер 29, страница 20 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 29, страница 20.

Условие.

29.— Найдите координаты точки $P_\alpha$ единичной окружности, если

$\alpha$ равно:

а) $\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, -\pi;$

б) $-\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{2};$

в) $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, 3\pi;$

г) $\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{2}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Координаты точки $P_{\alpha}$ на единичной окружности, центр которой находится в начале координат, определяются по формулам $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$. Таким образом, точка имеет координаты $P_{\alpha}(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Найдем координаты для каждого из заданных углов.

а)

Для угла $\alpha = \frac{\pi}{2}$, координаты точки $P_{\frac{\pi}{2}}$ равны $(\cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2}) = (0, 1)$.

Для угла $\alpha = \frac{\pi}{4}$, координаты точки $P_{\frac{\pi}{4}}$ равны $(\cos \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Для угла $\alpha = -\pi$, используя свойства чётности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$) и нечётности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем: $P_{-\pi} = (\cos(-\pi), \sin(-\pi)) = (\cos \pi, -\sin \pi) = (-1, 0)$.

Ответ: $P_{\frac{\pi}{2}}(0, 1)$; $P_{\frac{\pi}{4}}(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$; $P_{-\pi}(-1, 0)$.

б)

Для угла $\alpha = -\frac{\pi}{6}$, используя свойства чётности и нечётности: $P_{-\frac{\pi}{6}} = (\cos(-\frac{\pi}{6}), \sin(-\frac{\pi}{6})) = (\cos \frac{\pi}{6}, -\sin \frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.

Для угла $\alpha = \frac{2\pi}{3}$, используя формулы приведения: $P_{\frac{2\pi}{3}} = (\cos \frac{2\pi}{3}, \sin \frac{2\pi}{3}) = (\cos(\pi - \frac{\pi}{3}), \sin(\pi - \frac{\pi}{3})) = (-\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для угла $\alpha = \frac{3\pi}{2}$, координаты точки $P_{\frac{3\pi}{2}}$ равны $(\cos \frac{3\pi}{2}, \sin \frac{3\pi}{2}) = (0, -1)$.

Ответ: $P_{-\frac{\pi}{6}}(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$; $P_{\frac{2\pi}{3}}(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$; $P_{\frac{3\pi}{2}}(0, -1)$.

в)

Для угла $\alpha = -\frac{\pi}{2}$, используя свойства чётности и нечётности: $P_{-\frac{\pi}{2}} = (\cos(-\frac{\pi}{2}), \sin(-\frac{\pi}{2})) = (\cos \frac{\pi}{2}, -\sin \frac{\pi}{2}) = (0, -1)$.

Для угла $\alpha = \frac{\pi}{3}$, координаты точки $P_{\frac{\pi}{3}}$ равны $(\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для угла $\alpha = 3\pi$, учитывая, что период тригонометрических функций равен $2\pi$, имеем $3\pi = 2\pi + \pi$. Следовательно, точка $P_{3\pi}$ совпадает с точкой $P_{\pi}$. Её координаты: $P_{3\pi} = (\cos \pi, \sin \pi) = (-1, 0)$.

Ответ: $P_{-\frac{\pi}{2}}(0, -1)$; $P_{\frac{\pi}{3}}(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$; $P_{3\pi}(-1, 0)$.

г)

Для угла $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, используя формулы приведения: $P_{\frac{3\pi}{4}} = (\cos \frac{3\pi}{4}, \sin \frac{3\pi}{4}) = (\cos(\pi - \frac{\pi}{4}), \sin(\pi - \frac{\pi}{4})) = (-\cos \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Для угла $\alpha = -\frac{\pi}{3}$, используя свойства чётности и нечётности: $P_{-\frac{\pi}{3}} = (\cos(-\frac{\pi}{3}), \sin(-\frac{\pi}{3})) = (\cos \frac{\pi}{3}, -\sin \frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для угла $\alpha = \frac{5\pi}{2}$, учитывая, что период тригонометрических функций равен $2\pi$, имеем $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Следовательно, точка $P_{\frac{5\pi}{2}}$ совпадает с точкой $P_{\frac{\pi}{2}}$. Её координаты: $P_{\frac{5\pi}{2}} = (\cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2}) = (0, 1)$.

Ответ: $P_{\frac{3\pi}{4}}(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$; $P_{-\frac{\pi}{3}}(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$; $P_{\frac{5\pi}{2}}(0, 1)$.