Номер 30, страница 20 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 30, страница 20.

Условие.

30. В какой четверти координатной плоскости расположена точка $P_\alpha$, если $\alpha$ равно:

а) $\frac{3\pi}{8}$, $\frac{8\pi}{7}$, -2,7;

б) $\frac{5\pi}{3}$, $1.8\pi$, -3,2;

в) $\frac{7\pi}{4}$, $-\frac{2\pi}{5}$, 1,9;

г) $\frac{5\pi}{9}$, $-2.3\pi$, 3,7?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Для определения координатной четверти, в которой находится точка $P_\alpha$, необходимо соотнести угол $\alpha$ (в радианах) с границами четвертей:

• I четверть: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (приблизительно $0 < \alpha < 1,57$)
• II четверть: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (приблизительно $1,57 < \alpha < 3,14$)
• III четверть: $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (приблизительно $3,14 < \alpha < 4,71$)
• IV четверть: $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ (приблизительно $4,71 < \alpha < 6,28$)

К любому углу можно прибавлять или вычитать целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ - целое число), при этом положение точки на окружности не изменится.

а)

Для угла $\alpha = \frac{3\pi}{8}$:
Сравним этот угол с границей первой четверти $\frac{\pi}{2}$. Так как $\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$, то $\frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$.
Таким образом, $0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$, следовательно, точка расположена в I четверти.

Для угла $\alpha = \frac{8\pi}{7}$:
Представим угол в виде $\frac{8\pi}{7} = \pi + \frac{\pi}{7}$, что показывает, что угол больше $\pi$.
Сравним его с $\frac{3\pi}{2}$. Так как $\frac{8}{7} \approx 1,14$ а $\frac{3}{2} = 1,5$, то $\frac{8\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}$.
Таким образом, $\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}$, следовательно, точка расположена в III четверти.

Для угла $\alpha = -2,7$ (радиан):
Угол отрицательный, отсчет идет по часовой стрелке. Используем приближенные значения: $-\frac{\pi}{2} \approx -1,57$ и $-\pi \approx -3,14$.
Поскольку $-3,14 < -2,7 < -1,57$, то есть $-\pi < -2,7 < -\frac{\pi}{2}$.
Следовательно, точка расположена в III четверти.

Ответ: I, III, III.

б)

Для угла $\alpha = \frac{5\pi}{3}$:
Сравним с границами $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$. Так как $\frac{3}{2} = 1,5$, а $\frac{5}{3} \approx 1,67$, то $\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$.
Следовательно, точка расположена в IV четверти.

Для угла $\alpha = 1,8\pi$:
Сравним с границами $\frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$ и $2\pi$.
Поскольку $1,5\pi < 1,8\pi < 2\pi$.
Следовательно, точка расположена в IV четверти.

Для угла $\alpha = -3,2$ (радиан):
Угол отрицательный. Используем приближенные значения: $-\pi \approx -3,14$ и $-\frac{3\pi}{2} \approx -4,71$.
Поскольку $-4,71 < -3,2 < -3,14$, то есть $-\frac{3\pi}{2} < -3,2 < -\pi$.
Следовательно, точка расположена в II четверти.

Ответ: IV, IV, II.

в)

Для угла $\alpha = \frac{7\pi}{4}$:
Сравним с границами $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$. Так как $\frac{3}{2}=1,5$, а $\frac{7}{4}=1,75$, то $\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$.
Следовательно, точка расположена в IV четверти.

Для угла $\alpha = -\frac{2\pi}{5}$:
Угол отрицательный. Сравним с $0$ и $-\frac{\pi}{2}$. Так как $-\frac{1}{2} < -\frac{2}{5} < 0$, то $-\frac{\pi}{2} < -\frac{2\pi}{5} < 0$.
Следовательно, точка расположена в IV четверти.

Для угла $\alpha = 1,9$ (радиан):
Используем приближенные значения: $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$.
Поскольку $1,57 < 1,9 < 3,14$, то есть $\frac{\pi}{2} < 1,9 < \pi$.
Следовательно, точка расположена в II четверти.

Ответ: IV, IV, II.

г)

Для угла $\alpha = \frac{5\pi}{9}$:
Сравним с границами $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$. Так как $\frac{1}{2} < \frac{5}{9} < 1$, то $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \pi$.
Следовательно, точка расположена в II четверти.

Для угла $\alpha = -2,3\pi$:
Прибавим два полных оборота, чтобы получить положительный угол в пределах одного круга: $-2,3\pi + 2 \cdot 2\pi = -2,3\pi + 4\pi = 1,7\pi$.
Теперь сравним $1,7\pi$ с границами: $1,5\pi < 1,7\pi < 2\pi$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 1,7\pi < 2\pi$.
Следовательно, точка расположена в IV четверти.

Для угла $\alpha = 3,7$ (радиан):
Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.
Поскольку $3,14 < 3,7 < 4,71$, то есть $\pi < 3,7 < \frac{3\pi}{2}$.
Следовательно, точка расположена в III четверти.

Ответ: II, IV, III.