Номер 59, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 59, страница 37.

Условие.

Докажите, что функции являются нечетными (59—60).

59. а) $f(x) = x^3 \sin x^2$;

б) $f(x) = x^2 (2x - x^3)$;

б) $f(x) = x^5 \cos 3x$;

г) $f(x) = x (5 - x^2)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, при условии, что область определения симметрична относительно нуля. Все представленные функции определены на всей числовой оси, то есть их область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которая является симметричным множеством. Следовательно, для доказательства достаточно проверить для каждой функции выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$.

а) $f(x) = x^3 \sin x^2$.
Найдем значение функции в точке $-x$.
$f(-x) = (-x)^3 \sin((-x)^2) = (-x^3) \sin(x^2) = -x^3 \sin x^2 = -f(x)$.
Так как равенство $f(-x) = -f(x)$ выполняется, функция является нечетной.
Ответ: Доказано, что функция является нечетной.

б) $f(x) = x^5 \cos 3x$.
Найдем значение функции в точке $-x$. Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-z) = \cos(z)$.
$f(-x) = (-x)^5 \cos(3(-x)) = (-x^5) \cos(-3x) = -x^5 \cos(3x) = -(x^5 \cos 3x) = -f(x)$.
Так как равенство $f(-x) = -f(x)$ выполняется, функция является нечетной.
Ответ: Доказано, что функция является нечетной.

б) $f(x) = x^2 (2x - x^3)$.
Сначала упростим выражение, раскрыв скобки: $f(x) = 2x^3 - x^5$.
Найдем значение функции в точке $-x$.
$f(-x) = 2(-x)^3 - (-x)^5 = 2(-x^3) - (-x^5) = -2x^3 + x^5 = -(2x^3 - x^5) = -f(x)$.
Так как равенство $f(-x) = -f(x)$ выполняется, функция является нечетной.
Ответ: Доказано, что функция является нечетной.

г) $f(x) = x (5 - x^2)$.
Сначала упростим выражение, раскрыв скобки: $f(x) = 5x - x^3$.
Найдем значение функции в точке $-x$.
$f(-x) = 5(-x) - (-x)^3 = -5x - (-x^3) = -5x + x^3 = -(5x - x^3) = -f(x)$.
Так как равенство $f(-x) = -f(x)$ выполняется, функция является нечетной.
Ответ: Доказано, что функция является нечетной.