Номер 58, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 58, страница 37.

Условие.

58. a) $f (x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|}$;

б) $f (x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$;

В) $f (x) = \frac{2 \sin \frac{x}{2}}{x^3}$;

г) $f (x) = \frac{\cos x^3}{4 - x^2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы определить, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой, необходимо проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (четная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетная функция). Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|}$.

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{\cos(5(-x)) + 1}{|-x|}$

3. Упростим полученное выражение. Используем свойства четности функции косинус, $\cos(-a) = \cos(a)$, и функции модуля, $|-x| = |x|$:

$f(-x) = \frac{\cos(5x) + 1}{|x|}$

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$. Мы видим, что $f(-x) = f(x)$.

Следовательно, данная функция является четной.

Ответ: функция четная.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$.

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^2 - 1 \neq 0$, откуда $x^2 \neq 1$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2 - 1}$

3. Упростим полученное выражение. Используем свойство нечетности функции синус, $\sin(-x) = -\sin(x)$, и свойство четности квадратной функции, $(-x)^2 = x^2$.

$\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$

Таким образом, выражение для $f(-x)$ принимает вид:

$f(-x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$. Мы видим, что $f(-x) = f(x)$.

Следовательно, данная функция является четной.

Ответ: функция четная.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = -\frac{2 \sin\frac{x}{2}}{x^3}$.

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^3 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = -\frac{2 \sin(\frac{-x}{2})}{(-x)^3}$

3. Упростим полученное выражение. Используем свойство нечетности функции синус, $\sin(-a) = -\sin(a)$, и свойство нечетности кубической функции, $(-x)^3 = -x^3$:

$f(-x) = -\frac{2(-\sin\frac{x}{2})}{-x^3} = -\frac{-2\sin\frac{x}{2}}{-x^3} = -\frac{2\sin\frac{x}{2}}{x^3}$

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$. Мы видим, что $f(-x) = f(x)$.

Следовательно, данная функция является четной. (Примечание: частное двух нечетных функций $\sin(\frac{x}{2})$ и $x^3$ является четной функцией).

Ответ: функция четная.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\cos(x^3)}{4 - x^2}$.

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $4 - x^2 \neq 0$, откуда $x^2 \neq 4$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; \infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{\cos((-x)^3)}{4 - (-x)^2}$

3. Упростим полученное выражение. Аргумент косинуса: $(-x)^3 = -x^3$. Так как косинус является четной функцией, $\cos(-a) = \cos(a)$, то $\cos(-x^3) = \cos(x^3)$. Знаменатель: $4 - (-x)^2 = 4 - x^2$.

Таким образом, выражение для $f(-x)$ принимает вид:

$f(-x) = \frac{\cos(x^3)}{4 - x^2}$

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$. Мы видим, что $f(-x) = f(x)$.

Следовательно, данная функция является четной.

Ответ: функция четная.