Номер 60, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 60, страница 37.

Условие.

60. а) $f(x) = \frac{x^4+1}{2x^3}$;

б) $f(x) = \frac{\cos x^3}{x(25-x^2)}$;

в) $f(x) = \frac{3x}{x^6+2}$;

г) $f(x) = \frac{x^2 \sin x}{x^2-9}$.

а)

б)

в)

г) Рис. 37

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $f(x) = \frac{x^4 + 1}{2x^3}$

Для того чтобы сопоставить функцию с ее графиком, проанализируем свойства функции.

1. Область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $2x^3 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x)^4 + 1}{2(-x)^3} = \frac{x^4 + 1}{-2x^3} = -\frac{x^4 + 1}{2x^3} = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Асимптоты. Функция имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

Теперь проанализируем предложенные графики.

- Графики а), в) и г) изображают нечетные функции (симметрия относительно начала координат). - График б) изображает четную функцию (симметрия относительно оси OY). - Из нечетных графиков только график а) имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Графики в) и г) проходят через начало координат.

На основании этих ключевых признаков (нечетность и наличие вертикальной асимптоты $x=0$), мы можем заключить, что функции а) соответствует график а).

Примечание: Стоит отметить, что в задании, вероятно, есть неточности. Детальный анализ с помощью производной показывает, что локальный максимум функции $f(x) = \frac{x^4 + 1}{2x^3}$ находится в точке $x = -\sqrt[4]{3}$ и его значение отрицательно ($f(-\sqrt[4]{3}) < 0$), тогда как на графике а) локальный максимум имеет положительное значение. Тем не менее, по качественным признакам соответствие наиболее вероятно.

Ответ: Функции а) соответствует график а).

б) $f(x) = \frac{\cos x^2}{x(25 - x^2)}$

Проанализируем свойства функции.

1. Область определения. Знаменатель не равен нулю: $x \neq 0$ и $25 - x^2 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 5$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{\cos((-x)^2)}{(-x)(25 - (-x)^2)} = \frac{\cos x^2}{-x(25 - x^2)} = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

3. Асимптоты. Функция имеет вертикальные асимптоты $x=0$, $x=-5$, $x=5$.

Сравним с графиками. Все функции, кроме одной, уже сопоставлены. По методу исключения, для функции б) остается график б). Однако здесь возникает противоречие: функция б) нечетная, а график б) очевидно изображает четную функцию (он симметричен относительно оси OY).

Это указывает на серьезную ошибку в условии задачи. Если предположить, что в задании допущены опечатки, но оно все же имеет решение, то по методу исключения мы вынуждены сопоставить функцию б) и график б). Вероятнее всего, в формуле функции была допущена ошибка, которая должна была сделать ее четной (например, $f(x) = \frac{\cos x}{25 - x^2}$).

Ответ: Функции б) соответствует график б), несмотря на явное несоответствие по признаку четности/нечетности, что указывает на ошибку в условии задачи.

в) $f(x) = \frac{3x}{x^6 + 2}$

Проанализируем свойства функции.

1. Область определения. Знаменатель $x^6 + 2$ всегда положителен (так как $x^6 \ge 0$), поэтому он никогда не равен нулю. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^6 + 2} = \frac{-3x}{x^6 + 2} = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

3. Особенности. Функция не имеет вертикальных асимптот. Она проходит через начало координат, так как $f(0) = \frac{3 \cdot 0}{0^6 + 2} = 0$.

Рассмотрим графики.

- Графики в) и г) проходят через начало координат. - График в) не имеет вертикальных асимптот, в то время как график г) имеет асимптоту.

Функция в) является единственной из предложенных, которая определена на всей числовой оси и не имеет вертикальных асимптот. Этим свойствам соответствует только график в).

Ответ: Функции в) соответствует график в).

г) $f(x) = \frac{x^2 \sin x}{x^2 - 9}$

Проанализируем свойства функции.

1. Область определения. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 3$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x)^2 \sin(-x)}{(-x)^2 - 9} = \frac{x^2(-\sin x)}{x^2 - 9} = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

3. Асимптоты и точки пересечения с осями. Функция имеет вертикальные асимптоты $x=-3$ и $x=3$. Она проходит через начало координат, так как $f(0) = \frac{0^2 \sin 0}{0^2 - 9} = 0$.

Среди графиков, проходящих через начало координат (в и г), только график г) имеет вертикальную асимптоту (при $x=3$). Таким образом, функция г) соответствует графику г).

Примечание: Здесь также имеется несоответствие. Для $x \in (0; 3)$ числитель $x^2 \sin x$ положителен (так как $\sin x > 0$ на $(0; \pi)$), а знаменатель $x^2 - 9$ отрицателен. Следовательно, $f(x) < 0$ на интервале $(0; 3)$. Однако на графике г) функция на этом интервале положительна. Вероятно, в формуле допущена ошибка в знаке (например, в знаменателе должно быть $9 - x^2$).

Ответ: Функции г) соответствует график г).