Страница 62 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Исследуйте функцию и постройте ее график (104–105).

104.—

a) $f(x) = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{3}$;

б) $f(x) = -2 \sin 2x$;

в) $f(x) = -1,5 \cos 3x$;

г) $f(x) = 3 \sin \frac{x}{2}$.

105. a) $f(x) = \frac{1}{2} \operatorname{tg} 2x;$

б) $f(x) = -3 \cos \frac{3x}{2};$

В) $f(x) = -2 \operatorname{ctg} \frac{x}{3};$

г) $f(x) = 2.5 \sin \frac{4x}{3}.$

Задача состоит в нахождении основного периода для каждой из заданных тригонометрических функций. Основной период функции вида $y = A \cdot f(kx+b) + C$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — это основной период базовой функции $y = f(x)$.

Напомним основные периоды стандартных тригонометрических функций:

• Для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ основной период $T_0 = 2\pi$.
• Для функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$ основной период $T_0 = \pi$.

а) $f(x) = \frac{1}{2} \operatorname{tg} 2x$

1. Базовой функцией является тангенс, $y = \operatorname{tg} x$. Её основной период $T_0 = \pi$.
2. В данной функции $f(x) = \frac{1}{2} \operatorname{tg} 2x$ аргумент имеет вид $kx$, где коэффициент $k=2$.
3. Применяем формулу для нахождения периода: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.
4. Коэффициент $A = \frac{1}{2}$ влияет на вертикальное сжатие графика, но не изменяет его период.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) $f(x) = -3 \cos \frac{3x}{2}$

1. Базовой функцией является косинус, $y = \cos x$. Её основной период $T_0 = 2\pi$.
2. В данной функции $f(x) = -3 \cos \frac{3x}{2}$ коэффициент при $x$ равен $k = \frac{3}{2}$.
3. Вычисляем период: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{3}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{3}{2}} = 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
4. Коэффициент $A = -3$ влияет на амплитуду и отражение графика относительно оси абсцисс, но не изменяет его период.

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

в) $f(x) = -2 \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$

1. Базовой функцией является котангенс, $y = \operatorname{ctg} x$. Её основной период $T_0 = \pi$.
2. В данной функции $f(x) = -2 \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$ коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{3}$.
3. Вычисляем период: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|\frac{1}{3}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{3}} = 3\pi$.
4. Коэффициент $A = -2$ влияет на растяжение и отражение графика, но не изменяет его период.

Ответ: $3\pi$.

г) $f(x) = 2,5 \sin \frac{4x}{3}$

1. Базовой функцией является синус, $y = \sin x$. Её основной период $T_0 = 2\pi$.
2. В данной функции $f(x) = 2,5 \sin \frac{4x}{3}$ коэффициент при $x$ равен $k = \frac{4}{3}$.
3. Вычисляем период: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{4}{3}|} = \frac{2\pi}{\frac{4}{3}} = 2\pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$.
4. Коэффициент $A = 2,5$ (амплитуда) не изменяет период функции.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

106. Координата движущегося тела (измеренная в сантиметрах) изменяется по указанному закону. Найдите амплитуду, период, частоту колебания. Вычислите координату тела в момент времени $t_1$, если:

а) $x(t) = 3,5 \cos 4\pi t$, $t_1 = \frac{1}{12} \text{ c}$;

б) $x(t) = 5 \cos \left(3\pi t + \frac{\pi}{6}\right)$, $t_1 = 4,5 \text{ c}$;

в) $x(t) = 1,5 \cos 6\pi t$, $t_1 = 1\frac{1}{3} \text{ c}$;

г) $x(t) = 0,5 \cos \left(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$, $t_1 = 8 \text{ c}$.

Для решения задачи воспользуемся общим уравнением гармонических колебаний: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза. Период $T$ и частота $\nu$ связаны с циклической частотой соотношениями: $T = \frac{2\pi}{\omega}$ и $\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$.

а) $x(t) = 3,5 \cos 4\pi t$, $t_1 = \frac{1}{12}$ с;

Сравнивая уравнение $x(t) = 3,5 \cos 4\pi t$ с общей формулой, находим:
- Амплитуда $A = 3,5$ см.
- Циклическая частота $\omega = 4\pi$ рад/с.

Вычисляем период и частоту колебаний:
- Период $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2} = 0,5$ с.
- Частота $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,5} = 2$ Гц.

Вычисляем координату тела в момент времени $t_1 = \frac{1}{12}$ с:
$x(\frac{1}{12}) = 3,5 \cos(4\pi \cdot \frac{1}{12}) = 3,5 \cos(\frac{\pi}{3}) = 3,5 \cdot \frac{1}{2} = 1,75$ см.

Ответ: амплитуда $A=3,5$ см, период $T=0,5$ с, частота $\nu=2$ Гц, координата $x(\frac{1}{12})=1,75$ см.

б) $x(t) = 5 \cos \left(3\pi t + \frac{\pi}{6}\right)$, $t_1 = 4,5$ с;

Сравнивая уравнение $x(t) = 5 \cos(3\pi t + \frac{\pi}{6})$ с общей формулой, находим:
- Амплитуда $A = 5$ см.
- Циклическая частота $\omega = 3\pi$ рад/с.

Вычисляем период и частоту колебаний:
- Период $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3}$ с.
- Частота $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} = 1,5$ Гц.

Вычисляем координату тела в момент времени $t_1 = 4,5$ с:
$x(4,5) = 5 \cos(3\pi \cdot 4,5 + \frac{\pi}{6}) = 5 \cos(13,5\pi + \frac{\pi}{6}) = 5 \cos(\frac{27\pi}{2} + \frac{\pi}{6})$.
Используя периодичность косинуса ($13,5\pi = 12\pi + 1,5\pi$) и формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$, получаем:
$x(4,5) = 5 \cos(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = 5 \sin(\frac{\pi}{6}) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2,5$ см.

Ответ: амплитуда $A=5$ см, период $T=\frac{2}{3}$ с, частота $\nu=1,5$ Гц, координата $x(4,5)=2,5$ см.

в) $x(t) = 1,5 \cos 6\pi t$, $t_1 = 1\frac{1}{3}$ с;

Сравнивая уравнение $x(t) = 1,5 \cos 6\pi t$ с общей формулой, находим:
- Амплитуда $A = 1,5$ см.
- Циклическая частота $\omega = 6\pi$ рад/с.

Вычисляем период и частоту колебаний:
- Период $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{6\pi} = \frac{1}{3}$ с.
- Частота $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{1/3} = 3$ Гц.

Вычисляем координату тела в момент времени $t_1 = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ с:
$x(\frac{4}{3}) = 1,5 \cos(6\pi \cdot \frac{4}{3}) = 1,5 \cos(8\pi)$.
Так как $8\pi$ является целым числом периодов ($4 \cdot 2\pi$), то $\cos(8\pi) = \cos(0) = 1$.
$x(\frac{4}{3}) = 1,5 \cdot 1 = 1,5$ см.

Ответ: амплитуда $A=1,5$ см, период $T=\frac{1}{3}$ с, частота $\nu=3$ Гц, координата $x(1\frac{1}{3})=1,5$ см.

г) $x(t) = 0,5 \cos \left(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$, $t_1 = 8$ с.

Сравнивая уравнение $x(t) = 0,5 \cos(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{3})$ с общей формулой, находим:
- Амплитуда $A = 0,5$ см.
- Циклическая частота $\omega = \frac{\pi}{2}$ рад/с.

Вычисляем период и частоту колебаний:
- Период $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ с.
- Частота $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{4} = 0,25$ Гц.

Вычисляем координату тела в момент времени $t_1 = 8$ с:
$x(8) = 0,5 \cos(\frac{\pi \cdot 8}{2} + \frac{\pi}{3}) = 0,5 \cos(4\pi + \frac{\pi}{3})$.
Используя периодичность косинуса, $\cos(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
$x(8) = 0,5 \cdot \frac{1}{2} = 0,25$ см.

Ответ: амплитуда $A=0,5$ см, период $T=4$ с, частота $\nu=0,25$ Гц, координата $x(8)=0,25$ см.

107.- Найдите амплитуду, период, частоту силы тока, если она изменяется по закону (сила тока измерена в амперах, время — в секундах):

а) $I(t) = 0.25 \sin 50\pi t;$

б) $I(t) = 5 \sin 20\pi t;$

в) $I(t) = 0.5 \sin 10\pi t;$

г) $I(t) = 3 \sin 30\pi t.$

Для решения задачи используется общая формула гармонических колебаний силы тока: $I(t) = I_m \sin(\omega t)$. В этой формуле $I_m$ — это амплитуда силы тока (её максимальное значение), $\omega$ — это циклическая (или угловая) частота, а $t$ — время.

Амплитуду $I_m$ можно найти как коэффициент, стоящий перед функцией синуса в уравнении.

Период колебаний $T$, то есть время одного полного колебания, вычисляется через циклическую частоту по формуле: $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Частота колебаний $\nu$, показывающая число колебаний в секунду, является величиной, обратной периоду: $\nu = \frac{1}{T}$. Также её можно найти из циклической частоты: $\nu = \frac{\omega}{2\pi}$.

а) Дано уравнение $I(t) = 0,25 \sin 50\pi t$.

Сравнивая это уравнение с общей формулой $I(t) = I_m \sin(\omega t)$, находим:

Амплитуда: $I_m = 0,25$ А.

Циклическая частота: $\omega = 50\pi$ рад/с.

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{50\pi} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25} = 0,04$ с.

Частота: $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{50\pi}{2\pi} = 25$ Гц.

Ответ: амплитуда 0,25 А, период 0,04 с, частота 25 Гц.

б) Дано уравнение $I(t) = 5 \sin 20\pi t$.

Сравнивая это уравнение с общей формулой $I(t) = I_m \sin(\omega t)$, находим:

Амплитуда: $I_m = 5$ А.

Циклическая частота: $\omega = 20\pi$ рад/с.

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20\pi} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1$ с.

Частота: $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20\pi}{2\pi} = 10$ Гц.

Ответ: амплитуда 5 А, период 0,1 с, частота 10 Гц.

в) Дано уравнение $I(t) = 0,5 \sin 10\pi t$.

Сравнивая это уравнение с общей формулой $I(t) = I_m \sin(\omega t)$, находим:

Амплитуда: $I_m = 0,5$ А.

Циклическая частота: $\omega = 10\pi$ рад/с.

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\pi} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0,2$ с.

Частота: $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10\pi}{2\pi} = 5$ Гц.

Ответ: амплитуда 0,5 А, период 0,2 с, частота 5 Гц.

г) Дано уравнение $I(t) = 3 \sin 30\pi t$.

Сравнивая это уравнение с общей формулой $I(t) = I_m \sin(\omega t)$, находим:

Амплитуда: $I_m = 3$ А.

Циклическая частота: $\omega = 30\pi$ рад/с.

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{30\pi} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ с.

Частота: $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{30\pi}{2\pi} = 15$ Гц.

Ответ: амплитуда 3 А, период $\frac{1}{15}$ с, частота 15 Гц.

108.- Найдите амплитуду, период и частоту напряжения, если оно изменяется по закону (напряжение измерено в вольтах, время — в секундах):

а) $U (t) = 220 \cos 60\pi t;$

б) $U (t) = 110 \cos 30\pi t;$

в) $U (t) = 360 \cos 20\pi t;$

г) $U (t) = 180 \cos 45\pi t.$

Для нахождения амплитуды, периода и частоты напряжения, изменяющегося по гармоническому закону, воспользуемся его общей формулой:

$U(t) = U_m \cos(\omega t + \phi_0)$

где:

• $U(t)$ — мгновенное значение напряжения в момент времени $t$,
• $U_m$ — амплитуда напряжения, то есть его максимальное значение (в вольтах, В),
• $\omega$ — циклическая (угловая) частота (в радианах в секунду, рад/с),
• $t$ — время (в секундах, с),
• $\phi_0$ — начальная фаза колебаний (в данных задачах она равна нулю).

Амплитуда $U_m$ — это коэффициент, стоящий перед функцией косинуса.

Период колебаний $T$ — это время, за которое совершается одно полное колебание. Он связан с циклической частотой $\omega$ формулой:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Частота колебаний $\nu$ — это количество колебаний в единицу времени (в герцах, Гц). Она является величиной, обратной периоду, и вычисляется по формуле:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$

Применим эти формулы для каждого случая.

а) $U(t) = 220 \cos(60\pi t)$

Из уравнения находим амплитуду и циклическую частоту:

Амплитуда: $U_m = 220$ В.
Циклическая частота: $\omega = 60\pi$ рад/с.

Теперь вычислим период и частоту:

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{60\pi} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$ с.
Частота: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{1/30} = 30$ Гц.

Ответ: амплитуда 220 В, период $\frac{1}{30}$ с, частота 30 Гц.

б) $U(t) = 110 \cos(30\pi t)$

Из уравнения находим амплитуду и циклическую частоту:

Амплитуда: $U_m = 110$ В.
Циклическая частота: $\omega = 30\pi$ рад/с.

Вычислим период и частоту:

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{30\pi} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ с.
Частота: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{1/15} = 15$ Гц.

Ответ: амплитуда 110 В, период $\frac{1}{15}$ с, частота 15 Гц.

в) $U(t) = 360 \cos(20\pi t)$

Из уравнения находим амплитуду и циклическую частоту:

Амплитуда: $U_m = 360$ В.
Циклическая частота: $\omega = 20\pi$ рад/с.

Вычислим период и частоту:

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20\pi} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ с.
Частота: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{1/10} = 10$ Гц.

Ответ: амплитуда 360 В, период $\frac{1}{10}$ с, частота 10 Гц.

г) $U(t) = 180 \cos(45\pi t)$

Из уравнения находим амплитуду и циклическую частоту:

Амплитуда: $U_m = 180$ В.
Циклическая частота: $\omega = 45\pi$ рад/с.

Вычислим период и частоту:

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{45\pi} = \frac{2}{45}$ с.
Частота: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2/45} = \frac{45}{2} = 22,5$ Гц.

Ответ: амплитуда 180 В, период $\frac{2}{45}$ с, частота 22,5 Гц.

109.— Расположите в порядке возрастания числа:

a) $ \cos 4 $, $ \cos 7 $, $ \cos 9 $, $ \cos (-12.5) $;

б) $ \tan (-8) $, $ \tan 1.3 $, $ \tan 4 $, $ \tan 16 $;

в) $ \sin 6.7 $, $ \sin 10.5 $, $ \sin (-7) $, $ \sin 20.5 $;

г) $ \cot 3.5 $, $ \cot (-9) $, $ \cot 5 $, $ \cot 15 $.

Для решения задачи будем использовать свойства тригонометрических функций: периодичность, четность/нечетность и монотонность на различных промежутках. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Для определения четверти, в которой находится угол, будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $.

а) Расположим в порядке возрастания числа $ \cos 4, \cos 7, \cos 9, \cos(-12,5) $.

Сначала определим знак каждого числа, приведя аргументы к промежутку $ [0, 2\pi) \approx [0; 6,28] $ с помощью свойства периодичности $ \cos(x) = \cos(x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $ и четности $ \cos(-x) = \cos(x) $.

• $ \cos 4 $: Так как $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $ ($ 3,14 < 4 < 4,71 $), угол 4 радиана находится в 3-й четверти, где косинус отрицателен. $ \cos 4 < 0 $.

• $ \cos 7 $: $ \cos 7 = \cos(7 - 2\pi) \approx \cos(7 - 6,28) = \cos(0,72) $. Угол 0,72 радиана находится в 1-й четверти ($ 0 < 0,72 < \frac{\pi}{2} $), где косинус положителен. $ \cos 7 > 0 $.

• $ \cos 9 $: $ \cos 9 = \cos(9 - 2\pi) \approx \cos(9 - 6,28) = \cos(2,72) $. Угол 2,72 радиана находится во 2-й четверти ($ \frac{\pi}{2} < 2,72 < \pi $), где косинус отрицателен. $ \cos 9 < 0 $.

• $ \cos(-12,5) $: Используя четность, $ \cos(-12,5) = \cos(12,5) $. $ \cos(12,5) = \cos(12,5 - 4\pi) \approx \cos(12,5 - 12,56) = \cos(-0,06) = \cos(0,06) $. Угол 0,06 радиана находится в 1-й четверти, где косинус положителен. $ \cos(-12,5) > 0 $.

Таким образом, у нас есть два отрицательных числа ($ \cos 4, \cos 9 $) и два положительных ($ \cos 7, \cos(-12,5) $).

Сравним отрицательные числа $ \cos 4 $ и $ \cos 9 $. Приведем их к одному промежутку монотонности. На промежутке $ [\pi, 2\pi] $ функция $ y = \cos x $ возрастает. Угол 4 уже находится в этом промежутке. Для $ \cos 9 $ эквивалентный угол во 2-й четверти $ 9 - 2\pi \approx 2,72 $. Косинусы углов $ \alpha $ и $ 2\pi - \alpha $ равны. Угол, симметричный $ 2,72 $ относительно оси абсцисс, будет $ 2\pi - 2,72 \approx 6,28 - 2,72 = 3,56 $. Значит, $ \cos 9 = \cos(2,72) = \cos(3,56) $. Теперь сравним $ \cos 4 $ и $ \cos(3,56) $. Так как $ 3,56 < 4 $ и на $ [\pi, 2\pi] $ косинус возрастает, то $ \cos(3,56) < \cos 4 $, следовательно, $ \cos 9 < \cos 4 $.

Сравним положительные числа $ \cos 7 $ и $ \cos(-12,5) $. Это эквивалентно сравнению $ \cos(0,72) $ и $ \cos(0,06) $. На промежутке $ [0, \frac{\pi}{2}] $ функция $ y = \cos x $ убывает. Так как $ 0,06 < 0,72 $, то $ \cos(0,06) > \cos(0,72) $, следовательно, $ \cos(-12,5) > \cos 7 $.

Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \cos 9 < \cos 4 < \cos 7 < \cos(-12,5) $.

Ответ: $ \cos 9, \cos 4, \cos 7, \cos(-12,5) $.

б) Расположим в порядке возрастания числа $ \text{tg}(-8), \text{tg } 1,3, \text{tg } 4, \text{tg } 16 $.

Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \text{tg}(x) = \text{tg}(x + \pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $.

• $ \text{tg}(-8) = -\text{tg}(8) $. Найдем четверть для угла 8. $ 2,5\pi \approx 7,85 $ и $ 3\pi \approx 9,42 $, поэтому $ 2,5\pi < 8 < 3\pi $. Это 3-я четверть, где тангенс положителен. Значит, $ \text{tg}(8) > 0 $, а $ \text{tg}(-8) < 0 $.

• $ \text{tg}(1,3) $: $ 0 < 1,3 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $. Это 1-я четверть, $ \text{tg}(1,3) > 0 $.

• $ \text{tg}(4) $: $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 $. Это 3-я четверть, $ \text{tg}(4) > 0 $.

• $ \text{tg}(16) $: $ 5\pi \approx 15,7 $ и $ 5,5\pi \approx 17,27 $, поэтому $ 5\pi < 16 < 5,5\pi $. Это 1-я четверть (относительно $ 5\pi $), $ \text{tg}(16) > 0 $.

Только одно число, $ \text{tg}(-8) $, отрицательно, значит, оно наименьшее.

Сравним положительные числа: $ \text{tg}(1,3), \text{tg}(4), \text{tg}(16) $. Приведем их аргументы к основному промежутку $ (0, \frac{\pi}{2}) $, где тангенс возрастает. $ \text{tg}(1,3) $ — аргумент уже в нужном промежутке. $ \text{tg}(4) = \text{tg}(4 - \pi) \approx \text{tg}(0,86) $. $ \text{tg}(16) = \text{tg}(16 - 5\pi) \approx \text{tg}(0,3) $. Теперь сравним аргументы: $ 0,3 < 0,86 < 1,3 $. Так как на $ (0, \frac{\pi}{2}) $ тангенс возрастает, $ \text{tg}(0,3) < \text{tg}(0,86) < \text{tg}(1,3) $. Следовательно, $ \text{tg}(16) < \text{tg}(4) < \text{tg}(1,3) $.

Итоговый порядок: $ \text{tg}(-8) < \text{tg}(16) < \text{tg}(4) < \text{tg}(1,3) $.

Ответ: $ \text{tg}(-8), \text{tg } 16, \text{tg } 4, \text{tg } 1,3 $.

в) Расположим в порядке возрастания числа $ \sin 6,7, \sin 10,5, \sin(-7), \sin 20,5 $.

Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \sin(x) = \sin(x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \sin(-x) = -\sin(x) $.

• $ \sin(6,7) = \sin(6,7 - 2\pi) \approx \sin(0,42) $. Это 1-я четверть, $ \sin(6,7) > 0 $.

• $ \sin(10,5) = \sin(10,5 - 2\pi) \approx \sin(4,22) $. $ \pi < 4,22 < \frac{3\pi}{2} $. Это 3-я четверть, $ \sin(10,5) < 0 $.

• $ \sin(-7) = -\sin(7) = -\sin(7 - 2\pi) \approx -\sin(0,72) $. Так как $ \sin(0,72) > 0 $, то $ \sin(-7) < 0 $.

• $ \sin(20,5) = \sin(20,5 - 6\pi) \approx \sin(1,66) $. $ \frac{\pi}{2} < 1,66 < \pi $. Это 2-я четверть, $ \sin(20,5) > 0 $.

Сравним отрицательные числа $ \sin(10,5) $ и $ \sin(-7) $. $ \sin(10,5) \approx \sin(4,22) = -\sin(4,22 - \pi) \approx -\sin(1,08) $. $ \sin(-7) \approx -\sin(0,72) $. Сравниваем $ -\sin(1,08) $ и $ -\sin(0,72) $. На $ [0, \frac{\pi}{2}] $ синус возрастает. $ 0,72 < 1,08 \implies \sin(0,72) < \sin(1,08) \implies -\sin(0,72) > -\sin(1,08) $. Значит, $ \sin(-7) > \sin(10,5) $.

Сравним положительные числа $ \sin(6,7) $ и $ \sin(20,5) $. $ \sin(6,7) \approx \sin(0,42) $. $ \sin(20,5) \approx \sin(1,66) $. На $ [0, \frac{\pi}{2}] $ синус возрастает. Приведем угол 1,66 к первой четверти: $ \sin(1,66) = \sin(\pi - 1,66) \approx \sin(1,48) $. Сравниваем $ \sin(0,42) $ и $ \sin(1,48) $. Так как $ 0,42 < 1,48 $, то $ \sin(0,42) < \sin(1,48) $. Значит, $ \sin(6,7) < \sin(20,5) $.

Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \sin(10,5) < \sin(-7) < \sin(6,7) < \sin(20,5) $.

Ответ: $ \sin 10,5, \sin(-7), \sin 6,7, \sin 20,5 $.

г) Расположим в порядке возрастания числа $ \text{ctg } 3,5, \text{ctg}(-9), \text{ctg } 5, \text{ctg } 15 $.

Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \text{ctg}(x) = \text{ctg}(x + \pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $.

• $ \text{ctg}(3,5) $: $ \pi < 3,5 < \frac{3\pi}{2} $. Это 3-я четверть, $ \text{ctg}(3,5) > 0 $.

• $ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) $. $ \text{ctg}(9) = \text{ctg}(9 - 2\pi) \approx \text{ctg}(2,72) $. Это 2-я четверть, $ \text{ctg}(9) < 0 $. Значит, $ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) > 0 $.

• $ \text{ctg}(5) $: $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $. Это 4-я четверть, $ \text{ctg}(5) < 0 $.

• $ \text{ctg}(15) = \text{ctg}(15 - 4\pi) \approx \text{ctg}(2,44) $. Это 2-я четверть, $ \text{ctg}(15) < 0 $.

Сравним положительные числа $ \text{ctg}(3,5) $ и $ \text{ctg}(-9) $. Приведем их аргументы к $ (0, \frac{\pi}{2}) $, где котангенс убывает. $ \text{ctg}(3,5) = \text{ctg}(3,5 - \pi) \approx \text{ctg}(0,36) $. $ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) = -\text{ctg}(9-3\pi) \approx -\text{ctg}(-0,42) = \text{ctg}(0,42) $. Сравниваем $ \text{ctg}(0,36) $ и $ \text{ctg}(0,42) $. Так как $ 0,36 < 0,42 $ и котангенс убывает, то $ \text{ctg}(0,36) > \text{ctg}(0,42) $. Значит, $ \text{ctg}(3,5) > \text{ctg}(-9) $.

Сравним отрицательные числа $ \text{ctg}(5) $ и $ \text{ctg}(15) $. Приведем их аргументы к $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, где котангенс убывает. $ \text{ctg}(5) = \text{ctg}(5-\pi) \approx \text{ctg}(1,86) $. $ \text{ctg}(15) = \text{ctg}(15-4\pi) \approx \text{ctg}(2,44) $. Сравниваем $ \text{ctg}(1,86) $ и $ \text{ctg}(2,44) $. Так как $ 1,86 < 2,44 $ и котангенс убывает, то $ \text{ctg}(1,86) > \text{ctg}(2,44) $. Значит, $ \text{ctg}(5) > \text{ctg}(15) $.

Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \text{ctg}(15) < \text{ctg}(5) < \text{ctg}(-9) < \text{ctg}(3,5) $.

Ответ: $ \text{ctg } 15, \text{ctg } 5, \text{ctg}(-9), \text{ctg } 3,5 $.

110. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{1}{1 - \sin x}$;

б) $y = \sqrt{\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}}$;

в) $y = \frac{1}{\cos x - 1}$;

г) $y = \sqrt{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}$.

а)

Область определения функции $y = \frac{1}{1 - \sin x}$ состоит из всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$1 - \sin x = 0$
$\sin x = 1$

Это тригонометрическое уравнение имеет решения:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, из области определения необходимо исключить эти значения.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$, $x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Область определения функции $y = \sqrt{\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}}$ состоит из всех действительных чисел $x$, для которых выражение под знаком квадратного корня неотрицательно.

Необходимо решить неравенство:
$\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2} \ge 0$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Преобразуем левую часть неравенства:
$-(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}) \ge 0$
$-\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) \ge 0$
$-\cos x \ge 0$
$\cos x \le 0$

Функция косинуса принимает неположительные значения во второй и третьей координатных четвертях.
С учетом периодичности, решением неравенства является объединение отрезков:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Область определения функции $y = \frac{1}{\cos x - 1}$ состоит из всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$\cos x - 1 = 0$
$\cos x = 1$

Это тригонометрическое уравнение имеет решения:
$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, из области определения необходимо исключить эти значения.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$, $x \neq 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Область определения функции $y = \sqrt{\tg x + \ctg x}$ определяется двумя условиями:
1. Аргумент $x$ должен входить в область определения тангенса и котангенса. Это значит, что $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi n}{2}$ для любого целого $n$.
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательно: $\tg x + \ctg x \ge 0$.

Преобразуем подкоренное выражение:
$\tg x + \ctg x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$:
$\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin(2x)}$.

Теперь решим неравенство:
$\frac{2}{\sin(2x)} \ge 0$

Поскольку числитель $2$ является положительным числом, данное неравенство равносильно неравенству $\sin(2x) > 0$. (Знаменатель не может быть равен нулю, что автоматически удовлетворяет условию 1).

Неравенство $\sin u > 0$ справедливо для углов $u$ в первой и второй координатных четвертях.
$2\pi k < u < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену $u = 2x$:
$2\pi k < 2x < \pi + 2\pi k$

Разделив все части неравенства на 2, получим:
$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.