Номер 105, страница 62 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 105, страница 62.

Условие.

105. a) $f(x) = \frac{1}{2} \operatorname{tg} 2x;$

б) $f(x) = -3 \cos \frac{3x}{2};$

В) $f(x) = -2 \operatorname{ctg} \frac{x}{3};$

г) $f(x) = 2.5 \sin \frac{4x}{3}.$

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Задача состоит в нахождении основного периода для каждой из заданных тригонометрических функций. Основной период функции вида $y = A \cdot f(kx+b) + C$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — это основной период базовой функции $y = f(x)$.

Напомним основные периоды стандартных тригонометрических функций:

• Для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ основной период $T_0 = 2\pi$.
• Для функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$ основной период $T_0 = \pi$.

а) $f(x) = \frac{1}{2} \operatorname{tg} 2x$

1. Базовой функцией является тангенс, $y = \operatorname{tg} x$. Её основной период $T_0 = \pi$.
2. В данной функции $f(x) = \frac{1}{2} \operatorname{tg} 2x$ аргумент имеет вид $kx$, где коэффициент $k=2$.
3. Применяем формулу для нахождения периода: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.
4. Коэффициент $A = \frac{1}{2}$ влияет на вертикальное сжатие графика, но не изменяет его период.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) $f(x) = -3 \cos \frac{3x}{2}$

1. Базовой функцией является косинус, $y = \cos x$. Её основной период $T_0 = 2\pi$.
2. В данной функции $f(x) = -3 \cos \frac{3x}{2}$ коэффициент при $x$ равен $k = \frac{3}{2}$.
3. Вычисляем период: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{3}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{3}{2}} = 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
4. Коэффициент $A = -3$ влияет на амплитуду и отражение графика относительно оси абсцисс, но не изменяет его период.

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

в) $f(x) = -2 \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$

1. Базовой функцией является котангенс, $y = \operatorname{ctg} x$. Её основной период $T_0 = \pi$.
2. В данной функции $f(x) = -2 \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$ коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{3}$.
3. Вычисляем период: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|\frac{1}{3}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{3}} = 3\pi$.
4. Коэффициент $A = -2$ влияет на растяжение и отражение графика, но не изменяет его период.

Ответ: $3\pi$.

г) $f(x) = 2,5 \sin \frac{4x}{3}$

1. Базовой функцией является синус, $y = \sin x$. Её основной период $T_0 = 2\pi$.
2. В данной функции $f(x) = 2,5 \sin \frac{4x}{3}$ коэффициент при $x$ равен $k = \frac{4}{3}$.
3. Вычисляем период: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{4}{3}|} = \frac{2\pi}{\frac{4}{3}} = 2\pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$.
4. Коэффициент $A = 2,5$ (амплитуда) не изменяет период функции.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.