Номер 109, страница 62 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 109, страница 62.

Условие.

109.— Расположите в порядке возрастания числа:

a) $ \cos 4 $, $ \cos 7 $, $ \cos 9 $, $ \cos (-12.5) $;

б) $ \tan (-8) $, $ \tan 1.3 $, $ \tan 4 $, $ \tan 16 $;

в) $ \sin 6.7 $, $ \sin 10.5 $, $ \sin (-7) $, $ \sin 20.5 $;

г) $ \cot 3.5 $, $ \cot (-9) $, $ \cot 5 $, $ \cot 15 $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи будем использовать свойства тригонометрических функций: периодичность, четность/нечетность и монотонность на различных промежутках. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Для определения четверти, в которой находится угол, будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $.

а) Расположим в порядке возрастания числа $ \cos 4, \cos 7, \cos 9, \cos(-12,5) $.

Сначала определим знак каждого числа, приведя аргументы к промежутку $ [0, 2\pi) \approx [0; 6,28] $ с помощью свойства периодичности $ \cos(x) = \cos(x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $ и четности $ \cos(-x) = \cos(x) $.

• $ \cos 4 $: Так как $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $ ($ 3,14 < 4 < 4,71 $), угол 4 радиана находится в 3-й четверти, где косинус отрицателен. $ \cos 4 < 0 $.

• $ \cos 7 $: $ \cos 7 = \cos(7 - 2\pi) \approx \cos(7 - 6,28) = \cos(0,72) $. Угол 0,72 радиана находится в 1-й четверти ($ 0 < 0,72 < \frac{\pi}{2} $), где косинус положителен. $ \cos 7 > 0 $.

• $ \cos 9 $: $ \cos 9 = \cos(9 - 2\pi) \approx \cos(9 - 6,28) = \cos(2,72) $. Угол 2,72 радиана находится во 2-й четверти ($ \frac{\pi}{2} < 2,72 < \pi $), где косинус отрицателен. $ \cos 9 < 0 $.

• $ \cos(-12,5) $: Используя четность, $ \cos(-12,5) = \cos(12,5) $. $ \cos(12,5) = \cos(12,5 - 4\pi) \approx \cos(12,5 - 12,56) = \cos(-0,06) = \cos(0,06) $. Угол 0,06 радиана находится в 1-й четверти, где косинус положителен. $ \cos(-12,5) > 0 $.

Таким образом, у нас есть два отрицательных числа ($ \cos 4, \cos 9 $) и два положительных ($ \cos 7, \cos(-12,5) $).

Сравним отрицательные числа $ \cos 4 $ и $ \cos 9 $. Приведем их к одному промежутку монотонности. На промежутке $ [\pi, 2\pi] $ функция $ y = \cos x $ возрастает. Угол 4 уже находится в этом промежутке. Для $ \cos 9 $ эквивалентный угол во 2-й четверти $ 9 - 2\pi \approx 2,72 $. Косинусы углов $ \alpha $ и $ 2\pi - \alpha $ равны. Угол, симметричный $ 2,72 $ относительно оси абсцисс, будет $ 2\pi - 2,72 \approx 6,28 - 2,72 = 3,56 $. Значит, $ \cos 9 = \cos(2,72) = \cos(3,56) $. Теперь сравним $ \cos 4 $ и $ \cos(3,56) $. Так как $ 3,56 < 4 $ и на $ [\pi, 2\pi] $ косинус возрастает, то $ \cos(3,56) < \cos 4 $, следовательно, $ \cos 9 < \cos 4 $.

Сравним положительные числа $ \cos 7 $ и $ \cos(-12,5) $. Это эквивалентно сравнению $ \cos(0,72) $ и $ \cos(0,06) $. На промежутке $ [0, \frac{\pi}{2}] $ функция $ y = \cos x $ убывает. Так как $ 0,06 < 0,72 $, то $ \cos(0,06) > \cos(0,72) $, следовательно, $ \cos(-12,5) > \cos 7 $.

Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \cos 9 < \cos 4 < \cos 7 < \cos(-12,5) $.

Ответ: $ \cos 9, \cos 4, \cos 7, \cos(-12,5) $.

б) Расположим в порядке возрастания числа $ \text{tg}(-8), \text{tg } 1,3, \text{tg } 4, \text{tg } 16 $.

Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \text{tg}(x) = \text{tg}(x + \pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $.

• $ \text{tg}(-8) = -\text{tg}(8) $. Найдем четверть для угла 8. $ 2,5\pi \approx 7,85 $ и $ 3\pi \approx 9,42 $, поэтому $ 2,5\pi < 8 < 3\pi $. Это 3-я четверть, где тангенс положителен. Значит, $ \text{tg}(8) > 0 $, а $ \text{tg}(-8) < 0 $.

• $ \text{tg}(1,3) $: $ 0 < 1,3 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $. Это 1-я четверть, $ \text{tg}(1,3) > 0 $.

• $ \text{tg}(4) $: $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 $. Это 3-я четверть, $ \text{tg}(4) > 0 $.

• $ \text{tg}(16) $: $ 5\pi \approx 15,7 $ и $ 5,5\pi \approx 17,27 $, поэтому $ 5\pi < 16 < 5,5\pi $. Это 1-я четверть (относительно $ 5\pi $), $ \text{tg}(16) > 0 $.

Только одно число, $ \text{tg}(-8) $, отрицательно, значит, оно наименьшее.

Сравним положительные числа: $ \text{tg}(1,3), \text{tg}(4), \text{tg}(16) $. Приведем их аргументы к основному промежутку $ (0, \frac{\pi}{2}) $, где тангенс возрастает. $ \text{tg}(1,3) $ — аргумент уже в нужном промежутке. $ \text{tg}(4) = \text{tg}(4 - \pi) \approx \text{tg}(0,86) $. $ \text{tg}(16) = \text{tg}(16 - 5\pi) \approx \text{tg}(0,3) $. Теперь сравним аргументы: $ 0,3 < 0,86 < 1,3 $. Так как на $ (0, \frac{\pi}{2}) $ тангенс возрастает, $ \text{tg}(0,3) < \text{tg}(0,86) < \text{tg}(1,3) $. Следовательно, $ \text{tg}(16) < \text{tg}(4) < \text{tg}(1,3) $.

Итоговый порядок: $ \text{tg}(-8) < \text{tg}(16) < \text{tg}(4) < \text{tg}(1,3) $.

Ответ: $ \text{tg}(-8), \text{tg } 16, \text{tg } 4, \text{tg } 1,3 $.

в) Расположим в порядке возрастания числа $ \sin 6,7, \sin 10,5, \sin(-7), \sin 20,5 $.

Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \sin(x) = \sin(x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \sin(-x) = -\sin(x) $.

• $ \sin(6,7) = \sin(6,7 - 2\pi) \approx \sin(0,42) $. Это 1-я четверть, $ \sin(6,7) > 0 $.

• $ \sin(10,5) = \sin(10,5 - 2\pi) \approx \sin(4,22) $. $ \pi < 4,22 < \frac{3\pi}{2} $. Это 3-я четверть, $ \sin(10,5) < 0 $.

• $ \sin(-7) = -\sin(7) = -\sin(7 - 2\pi) \approx -\sin(0,72) $. Так как $ \sin(0,72) > 0 $, то $ \sin(-7) < 0 $.

• $ \sin(20,5) = \sin(20,5 - 6\pi) \approx \sin(1,66) $. $ \frac{\pi}{2} < 1,66 < \pi $. Это 2-я четверть, $ \sin(20,5) > 0 $.

Сравним отрицательные числа $ \sin(10,5) $ и $ \sin(-7) $. $ \sin(10,5) \approx \sin(4,22) = -\sin(4,22 - \pi) \approx -\sin(1,08) $. $ \sin(-7) \approx -\sin(0,72) $. Сравниваем $ -\sin(1,08) $ и $ -\sin(0,72) $. На $ [0, \frac{\pi}{2}] $ синус возрастает. $ 0,72 < 1,08 \implies \sin(0,72) < \sin(1,08) \implies -\sin(0,72) > -\sin(1,08) $. Значит, $ \sin(-7) > \sin(10,5) $.

Сравним положительные числа $ \sin(6,7) $ и $ \sin(20,5) $. $ \sin(6,7) \approx \sin(0,42) $. $ \sin(20,5) \approx \sin(1,66) $. На $ [0, \frac{\pi}{2}] $ синус возрастает. Приведем угол 1,66 к первой четверти: $ \sin(1,66) = \sin(\pi - 1,66) \approx \sin(1,48) $. Сравниваем $ \sin(0,42) $ и $ \sin(1,48) $. Так как $ 0,42 < 1,48 $, то $ \sin(0,42) < \sin(1,48) $. Значит, $ \sin(6,7) < \sin(20,5) $.

Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \sin(10,5) < \sin(-7) < \sin(6,7) < \sin(20,5) $.

Ответ: $ \sin 10,5, \sin(-7), \sin 6,7, \sin 20,5 $.

г) Расположим в порядке возрастания числа $ \text{ctg } 3,5, \text{ctg}(-9), \text{ctg } 5, \text{ctg } 15 $.

Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \text{ctg}(x) = \text{ctg}(x + \pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $.

• $ \text{ctg}(3,5) $: $ \pi < 3,5 < \frac{3\pi}{2} $. Это 3-я четверть, $ \text{ctg}(3,5) > 0 $.

• $ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) $. $ \text{ctg}(9) = \text{ctg}(9 - 2\pi) \approx \text{ctg}(2,72) $. Это 2-я четверть, $ \text{ctg}(9) < 0 $. Значит, $ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) > 0 $.

• $ \text{ctg}(5) $: $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $. Это 4-я четверть, $ \text{ctg}(5) < 0 $.

• $ \text{ctg}(15) = \text{ctg}(15 - 4\pi) \approx \text{ctg}(2,44) $. Это 2-я четверть, $ \text{ctg}(15) < 0 $.

Сравним положительные числа $ \text{ctg}(3,5) $ и $ \text{ctg}(-9) $. Приведем их аргументы к $ (0, \frac{\pi}{2}) $, где котангенс убывает. $ \text{ctg}(3,5) = \text{ctg}(3,5 - \pi) \approx \text{ctg}(0,36) $. $ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) = -\text{ctg}(9-3\pi) \approx -\text{ctg}(-0,42) = \text{ctg}(0,42) $. Сравниваем $ \text{ctg}(0,36) $ и $ \text{ctg}(0,42) $. Так как $ 0,36 < 0,42 $ и котангенс убывает, то $ \text{ctg}(0,36) > \text{ctg}(0,42) $. Значит, $ \text{ctg}(3,5) > \text{ctg}(-9) $.

Сравним отрицательные числа $ \text{ctg}(5) $ и $ \text{ctg}(15) $. Приведем их аргументы к $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, где котангенс убывает. $ \text{ctg}(5) = \text{ctg}(5-\pi) \approx \text{ctg}(1,86) $. $ \text{ctg}(15) = \text{ctg}(15-4\pi) \approx \text{ctg}(2,44) $. Сравниваем $ \text{ctg}(1,86) $ и $ \text{ctg}(2,44) $. Так как $ 1,86 < 2,44 $ и котангенс убывает, то $ \text{ctg}(1,86) > \text{ctg}(2,44) $. Значит, $ \text{ctg}(5) > \text{ctg}(15) $.

Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \text{ctg}(15) < \text{ctg}(5) < \text{ctg}(-9) < \text{ctg}(3,5) $.

Ответ: $ \text{ctg } 15, \text{ctg } 5, \text{ctg}(-9), \text{ctg } 3,5 $.